黎曼猜想的一個“有趣”證明，當今數學界最重要的數學難題之一

任何數的0次冪都等於1

本文是關於一個虛構的物件，稱為帶一個元素的域，有時表示為F_un。F表示域，而“un”表示1。當我第一次聽說這個的時候，我以為這是一個笑話。物件是“Fun”，它並不存在。

但是很多偉大的數學家已經在這方面做了很多研究，如雅克·提茨（Jacques Tits），阿蘭·康尼斯（Alain Connes），尤里·曼寧（Yuri Manin）等等。

一個精妙的公式可能會對數學的多個分支產生重大影響，包括計算複雜性理論、非交換幾何學和代數數論等。

本文將集中討論為什麼它可能對黎曼猜想有所幫助。讓我們開始吧。

域是什麼？

域是數學的基本物件之一。域是一個具有兩個操作（加法和乘法）的集合，其中有一個加法的單位（0）和一個乘法的單位（1），每個元素（除了0）對這兩個操作都有一個逆。

域有很多種，其中實數域最容易理解。每個實數都有一個加法的逆元素。例如，3的加性逆元素是-3，因為3+（-3）=0。每一個非零實數都有一個乘法的逆元素。例如，3的乘法逆元素是（1/3）。這是因為3*（1/3）=1。

同理，有理數集也是一個域。還有，也就是複數（虛數）的集合也是一個域。

並不是所有數字系統都是域。整數集合不能構成一個域，因為雖然有加法和乘法運算，但3沒有乘法逆（1/3不是整數）。

並不是所有的域都是無限的。實際上，帶有“mod 3”算術的整數（表示為/3）是一個包含三個元素{0，1，2}的域。

Mod 3算術可以正常的加和乘，然後像時鐘一樣迴圈：0，1，2，3 = 0，4 = 1，5 = 2，6 =0，……（負號也可以，-1=2，等等）。

我們可以驗證一下：

1 + 2 = 0。這表明1是2的加法逆元素（反之亦然）。

2 * 2 = 4 = 1。這表明2是它自己的乘法逆元素。

這是唯一兩個很難驗證的數字，所以/3確實是一個域。

在這一點上，域是很容易理解的。注意到在有限域的情況下會發生一些奇怪的事情。如果你把1和它自己相加3次，你會得到加法恆等式1+1+1=0。但如果你在無限域中這樣做，這永遠不會發生。

如果將1和它自身相加有限次得到0，相加的次數被稱為域的特徵。我們用字母p表示。/3的特徵是3。

如果1和它本身相加不管你做多少次都不會得到0，那麼這個域的特性就是0。

重要術語：

我將在本文中繼續提到正的特性。這是表示特徵不等於0的標準方法。換句話說， p>0。

大多數關於抽象代數的第一門課程都會證明一個驚人的事實，即在有限域的情況下，這個特徵總是一個素數！此外，有限域的元素數總是這個素數的冪，即p（p是這種域的特徵）。

相反，對於任何素數冪，都有一個顯式的構造，用於包含這麼多元素的域。因此，域有2個元素，3個元素，4個元素，5個元素，7，8，9，等等。沒有包含6個或10個元素的域。

為了完備起見，並不是所有的無限域都具有0的特徵。這種有限的解釋很容易讓人產生錯誤的印象。

這給我們帶來了一個關鍵問題，

沒有一個域只有一個元素！

（也就是說，1不是素數冪）。

在深入討論這個問題之前，讓我們先繞個圈子，看看為什麼有人會希望有這樣一個東西。

有限域上的黎曼假設

這才是真正酷的地方。

事實證明，在正特徵域上“做幾何”通常比在0特徵上更容易。我就不細說原因了。

因此，有時這是一個很好的工具，你可以把你想要證明的東西透過簡化為正的特性，在那裡證明它，然後試圖以某種方式把它提升到0特徵（這實際上是本文的一個主要觀點）。

要定義幾何在正特性中的含義有點複雜，但我們可以依靠一個相當準確的類比。或上的幾何只是研究由多項式的零集形成的形狀。

所以，如果在上，有兩個變數，一個多項式p（x，y）=y-x，當它等於0時，你得到的幾何圖形就是拋物線：

x= 0

或者大家更熟悉的y=x：

後續我將在另外兩篇文章中討論上的其他理論（霍奇猜想、法爾廷斯定理和莫德爾猜想猜想）。

當你在上這樣做時，你會發現拓撲結構和整數解的數量（費馬最後定理等）之間有一個有趣的相互作用。

我們可以在有限域上做同樣的事情。域/3上的多項式p（x，y）=y-x的幾何形式來自於代入並檢查零集。它更難想象成“幾何圖形”，但實際上更容易處理，因為它是有限的。

實際上，我們可以確定{（0，0），（1，1），（2，1）}是僅有的三個點。我省略了一些重要的細節，但這種思考方式對於獲取要點來說已經足夠好了。

ζ函式（Zeta Functions）

假設我們從一個有限域開始，該域上有p個元素，比如F，和一條“曲線”C（為簡單起見，多項式的零集）。

我們可以計算C的點數，N（1）。

然後我們可以在有p^2元素的域上看同樣的方程，把它叫做N（2）等等。

所以N是一個函式。N（k）就是C在有p^k個元素的域上的點數。

下一部分看起來很複雜，但它會大大簡化。

考慮到函式：

C的區域性ζ函式定義為：

這可能看起來很瘋狂，但我們可以透過一個例子很容易地看出，定義的構造是為了消去和簡化。

如果我們從多項式p（x）=x開始，那麼任意域上x=0的唯一解就是x=0。

無論我們檢查多少個域，都只有一個點。因此，對於所有k， N（k）=1。

讓我們代入：

因此：

韋爾猜想是由安德烈·韋爾（André Weil）在1949年提出的關於任意X（不只是曲線或點，也包括高維空間）的Z（X，t）猜想。從那時起，他們一直是代數和算術幾何研究的主要驅動力之一。

數學家們用了幾十年的時間證明了它們，並且發現了許多現代的替代證明。關鍵的結論是，韋爾猜想之一就是這些函式的“黎曼猜想”。韋爾自己證明了有限域上曲線的黎曼猜想。

透過適當的幾何機制，證明是相對容易的。

只有一個元素的域

我們終於準備好討論只有一個元素的域了。

記住，它不存在。

但我們的想法是建立一些東西讓我們可以做一種廣義幾何。思考一下，它的性質是“減少mod p”，對於任何素數p都會給我們一個有p個元素的域（這是我們之前定義有p個元素的域的方式）。

這個事實可以用幾何的方法來重新表述。有一個幾何空間，X=Spec（），所以，對於每個質數p，減少mod p得到有p個元素的域上的1個點，F。

我們已經算出了一個點的區域性ζ函式，它是1 / （1 - t）。

但是我們透過減少mod p來得到一個區域性的ζ函式。當你將這些結合在一起得到X的“全域性”ζ函式時，正確的方法是相乘並追蹤素數 （t→p），我們可以得到：

黎曼ζ函式的乘積形式。這就是我們一直在找的東西。

如果有一個叫做F_un的東西，它的作用就像一個有限域，我們可以把X=Spec（）當做它上面的一條曲線然後，用韋爾定理來證明黎曼猜想。

數學家們在這方面已經做了一些非常了不起的工作。也許有一天我們會有一個證明黎曼猜想的Fun。