人類數學史上的三次危機，最後一個仍然沒有得到解決！

我們從小就學習數學，而人類歷史上很早就開始了對數學的研究，不過研究的過程並非一帆風順，其中出現了三次數學危機。

古代人類對數學的理解很樸素，更願意相信用整體就可以描述自然界中的所有事物，當然這裡的整體是廣義概念，也包括分數，說白了就是如今我們所說的有理數。

不過當發現勾股定理之後，徹底顛覆了古代人類對數學的傳統認知。

我們都知道直角邊長為1的等腰直角三角形，斜邊長就是

√2，但是當人們計算√2的具體數值時發現這個數很特殊，不管人們計算多久，√2總是沒完沒了，非常長。之前人們認為整數代表了和諧自然之美，但是√2的出現徹底打破了這種認知。

於是，古人開始研究無理數，首次思考無窮的概念，四大悖論之一的芝諾悖論應運而生。

很多人都聽說過這個悖論，只要烏龜不在同一起跑線出發，而是在你前面的某個位置出發，你就永遠追不上烏龜，不管你跑多快，哪怕是博爾特來了也不行。

因為你在追趕烏龜的時候，肯定要先追上烏龜一開始領先你的路程的一半。而當你追到這一半的時候，烏龜又前進了一部分，你必須在追上烏龜新路程的一半，如此一直進行下去，你永遠在烏龜後面。

但現實中我們都知道，你很快就會追上烏龜。這個悖論讓人們開始深入思考無窮的概念。

如今我們知道之諾悖論其實就是某種“詭辯”，因為我們不可能在有限的時間裡做無限多的事情，用簡單的數學計算也能輕鬆化解這個悖論。

無理數的出現也讓人類進入第一次數學危機，而對無理數和無窮的理解成功化解這次危機。

而第二次數學危機出現在對微積分的理解上。

最直觀的例子就是0。999。。。和1的大小比較，誰更大？

一樣大，這兩個數其實就是一個數，都等於1。理解問題的根本就在於對於微積分的理解上，如果你的潛意識裡還認為0。999。。。比1小，說明你並沒有理解微積分，甚至連最基礎的微積分都沒有理解，還停留在小學時代對數字大小的比較層面。

肯定有些人會認為1比0。999。。。更大，大多少呢？他們會說大0。000。。。1。

而第三次數學危機並不是對數字的理解問題，而是對集合論的理解，所謂的集合論悖論，並引申到之後的“羅素悖論”。

羅素悖論是這樣的，一個理髮師號稱自己技術很牛，能給所有不能給自己理髮的人理髮。

但是他能不能給自己理髮呢？如果能，他宣傳的就有誤，因為他只給不能給自己理髮的人理髮。如果不能，也不對，因為他已經宣傳了“能給所有不能給自己理髮的人理髮”！

有點繞嘴，自己慢慢理解，並不難。

不少人認為羅素悖論其實是一種詭辯，它看起來並不像是對集合的定義，更像是哲學上的本體論，體現了唯心和唯物兩種思想。

舉個例子，用唯心思想來理解，我認為世界只是我的表象，也就是我的意識幻想出來的，那麼“我”本人的概念也是是意識幻想出來的嗎？

如果是這樣，“我對““我”的質疑””也是意識幻想出來的嗎？如果是，那麼“我對“我質疑我思想”的質疑”是不是意識意識幻想出來的？

問題就出來的，如果一直都是，那麼意識最初的本體在哪裡呢？它真的存在嗎？

再舉個通俗的例子，上帝無所不能，那麼他能不能創造出自己搬不動的石頭呢？無論能與不能，結果都是矛盾的。

而羅素悖論就像上面兩個例子，總是會先把自己放在某個事件之外，然後換個角度發現自己並沒有在事件之外。所以羅素悖論的矛盾就演變為：自己到底是在事件裡面還是事件外面？