新定義“內聯點”--2020年秋海淀區九年級數學期末第25題

新定義“內聯點”

2020年秋海淀區九年級數學期末第25題

北京是教育強市，而海淀是教育強區，在雞娃媽媽們心目中，海淀娃那是神一般地存在，曾經路過海淀黃莊，鋪天蓋地的培訓機構招牌以及遍地接送孩子的家長們，留給我極深刻的印象。

北京市的中考數學壓軸題，最後一道題的特色就是新定義題型，那麼，海淀區的九年級數學期末壓軸題，自然也少不了它，前面介紹過東城區和西城區的壓軸題，但海淀區這道題，做出來不難，要講清楚，不容易。

題目

如圖1，對於△PMN的頂點P及其對邊MN上的一點Q，給出如下定義：以P為圓心，PQ為半徑的圓與直線MN的公共點都線上段MN上，則稱點Q為△PMN關於點P的內聯點。

在平面直角座標系xOy中：

（1）如圖2，已知點A（7，0），點B在直線y=x+1上。

①若點B（3，4），點C（3，0），則在點O，C，A中，點_______是△AOB關於點B的內聯點；

②若△AOB關於點B的內聯點存在，求點B縱座標n的取值範圍；

（2）已知點D（2，0），點E（4，2），將點D繞原點O旋轉得到點F，若△EOF關於點E的內聯點存在，直接寫出點F橫座標m的取值範圍。

解析：

（1）

逐句解讀新定義，首先得有一個圓P，半徑是PQ，這個圓的大小隨半徑PQ變化而變化，關鍵看點Q；其次點Q線上段MN上，顯然當PQ⊥MN時，這個圓的半徑最小；第三看圓P與直線MN的位置關係，判斷依據是點P到直線的距離以及半徑比較；最後是公共點的位置，必須線上段MN上。

定義中，點Q，△PMN，點P三者是有順序關聯的，點Q在△PMN中頂點P的對邊上，要特別注意；

對於△PMN，題圖中給出的是不等邊三角形，若△PMN形狀不變，僅改變點Q的位置，如下圖：

顯然右圖不符合內聯點定義，圓P與直線MN有一個公共點線上段MN外，那麼，作為內聯點Q，並不是線段MN上所有位置都滿足，這一點要尤其注意；

若△PMN是等腰三角形呢？如下圖：

此時我們會發現，無論點Q在MN上什麼位置，圓P與直線MN的公共點均線上段MN上，即MN上所有點均為△PMN關於點P的內聯點；

若△PMN中，∠M或∠N是鈍角呢？如下圖：

此時無論點Q線上段MN什麼位置，都不存在內聯點；

若△PMN中，∠M或∠N是直角呢？如下圖：

此時點Q只有在與M或N重合時，它才是內聯點；

初步解讀至此，這些資訊已經足夠完成前兩個小題了。

①將點B、C標出，並分別以點B為圓心，BO、BC、BA為半徑作圓，觀察圓B與直線OA的公共點是否都線上段OA上，如下圖：

顯然點O和點C是△AOB關於點B的內聯點；

②既然是△AOB中找關於點B的內聯點，則我們需要在點B的對邊，即OA上去找，如下圖：

圖一中，和前一小題類似，OA上可以找到內聯點，圖二中，OA上的內聯點只有點O，圖三中，OA上沒有內聯點，因此，若△AOB關於點B的內聯點存在，B點只能在（0，1）上方的直線y=x+1上，即n≥1；

再看另一個方向，如下圖：

圖四中，OA上的內聯點只有A點，這時點B座標為（7，8），圖五中，OA上沒有內聯點，因此，△AOB關於點B的內聯點，不能超過圖四中的點B，即n≤8；

綜上所述，1≤n≤8；

（2）

將點D繞原點O旋轉得到點F，說明點F在以O為圓心，半徑為2的圓上，如下圖：

對於△EOF，關於點E的內聯點，需要在OF上尋找，結合前面對新定義的解讀，當內聯點存在時，∠EFO和∠EOF不能為鈍角，最多為直角，因此我們在求取值範圍的時候，不妨先探索∠EFO和∠EOF何時為直角；

當∠EFO為直角時，如下圖：

有兩處滿足條件，即上圖中的點F和F‘，其中點F橫座標為0，EF=4，OF=2，同時圖中△EOF≌△EOF’，這在後面求解過程中非常有用，在求點F‘橫座標時，不防過點F’作y軸的垂線，再過點E作x軸的垂線，如下圖：

這顯然構造出了“一線三直角”模型，我們可證明△OGF‘∽△F’HE，其中OF‘=2，EF’=4，即相似比為1：2，而GF‘=m，所以可求出FH=2m，F’H=4-m，在Rt△EF‘H中，利用勾股定理列方程，16=（4-m）²+（2m）²，解得m=0或8/5；

當∠EOF為直角時，如下圖：

同樣有兩處滿足條件，即上圖中的點F和F’，以點F橫座標求解為例，我們過點F、E分別向x軸作垂線，如下圖：

又是“一線三直角”模型，我們可證明△FOM∽△OEN，其中OE=2√5，OF=2，EN=2，所以可求出OM=2√5/5，而點F與F‘關於原點O對稱，因此點F橫座標為-2√5/5，點F’橫座標為2√5/5；

將特殊位置時的點F橫座標找全之後，剩下任務就輕鬆了，當-2√5/5≤m≤0或2√5/5≤m≤8/5時，△EOF關於點E的內聯點存在。

解題反思

此題多數靠想，兼靠作圖，而作圖之前也得先想好，所以主要還是要多想。

如果簡單描述成直角三角形只有一個內聯點，或鈍角三角形沒有內聯點，其實是錯的，關鍵在於先定某個頂點所在內角，再看它之外的另兩個內角，若其中有直角，則內聯點只有一個，若其中有鈍角，則不存在內聯點。想了半天，才把這一層含義弄明白，然而要讓學生也明白，難度不是一般地高。

本題的新定義其實比較繞，點Q，△PMN，點P在三個小題中都有各自的影子：第1小題中是研究△AOB關於點B的內聯點的存在性；第2小題中是△EOF關於點E的內聯點的存在性。如果不能在腦子裡建立起它們之間的聯絡，一定會懵圈。