圖形與幾何---正方形

數學方是什麼意思

一．概念描述

現代數學：正方形是特殊的平行四邊形之一。即有一組鄰邊相等，並且有一個角是直角的平行四邊形稱為正方形。

小學數學：小學數學教材對正方形沒有給出明確的定義，一般是透過兩個階段來認識正方形的。如2003年人教版教材第一階段是在一年級上冊第34頁，在認識正方體的基礎上，感悟面在體上，把其中的某個面畫在紙上，就形成了正方形，讓學生能直觀認識，學會辨認。第二階段是在三年級上冊第34頁，透過量一量、折一折、比一比來發現正方形邊和角的特點：四條邊都相等，四個角都是直角，讓學生能依據特徵，判斷圖形是不是正方形。

二．概念解讀

正方形在生活中的原型是什麼？人們認識正方形最早是透過劃分田地開始的，中國古算書中，正方形田稱為方田，也稱正方形圖形為方田。現實生活中，人們在觀察物體時，往往看到的是有長短、寬窄和高矮的體，再把體的某個面畫在紙上或拍成照片抽象到頭腦中，就形成了平面圖形。例如餐桌的面、地磚面、玻璃面、魔方的面等往往都是正方形的。

正方形有什麼特徵呢？如下圖：

在平行四邊形ABCD中，若AB= BC，且∠A= Rt∠，則平行四邊形ABCD為正方形，記作口ABCD，讀作正方形ABCD。正方形每條邊的長稱為正方形的邊長。

正方形具有以下特徵。

①邊：兩組對邊分別平行，四條邊都相等，相鄰邊互相垂直。

②內角：四個角都是90。。

③對角線：對角線互相垂直，對角線相等且互相平分，每條對角線平分一組對角。

④對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（有四條對稱軸）。

⑤形狀：正方形屬於長方形的一種，也屬於菱形的一種。

⑥正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質。

⑦特殊性質：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45度；正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形。

如何判定一個四邊形是不是正方形呢？判定正方形有幾個充分條件，滿足下列條件之一的四邊形是正方形：

①四邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。

②對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。

③有一個角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊形。

④有一組鄰邊相等的長方形。

⑤有一個角為直角的菱形。

正方形和其他平面圖形的關係是什麼？正方形是一種特殊的平行邊形，也是特殊的長方形和菱形。因此，它具有平行四邊形、長方形、菱形的一切性質。在正方形裡畫一個最大的圓，該圓的面積約是正方形面積的78。5%；正方形外接圓面積大約是正方形面積的157%。

三．教學建議

長方形和正方形是一對孿生兄弟，人們在認識長方形之後，緊跟著就要認識正方形。有了認識長方形的經驗，正方形的特徵就很容易找到。

關於教學過程和方法建議可參見“長方形”概念教學建議部分。

四．推薦閱讀

《數學辭海·第一卷》（裘光明，山西教育出版社，2002）

該書的第136頁論述了正方形的意義和性質、判定。