雙曲空間漫遊指南：一場琳琅滿目的跨學科之旅

原創 胡喬 集智俱樂部

導語

我們生活在平直的三維歐氏空間，時間空間彷彿均勻展開。但你有沒有想過，生活在雙曲空間，比如龐加萊圓盤上，會是怎樣奇妙的體驗？事實上，我們的意識、記憶或許是在雙曲空間運轉，雙曲空間是複雜網路背後的幾何，愛因斯坦構建狹義相對論的閔可夫斯基時空也是雙曲面模型。雙曲空間到底是什麼樣？為何吸引黎曼、龐加萊、克萊因、莫比烏斯等數學巨擘探索？今天，我們共同開啟一場雙曲空間的跨學科之旅。

研究領域：雙曲空間， 雙曲模型，科學與藝術

胡喬 | 作者

鄧一雪 | 編輯

1. 初識雙曲空間

難以想象，如果沒有畫家埃舍爾，多少人將被艱深的雙曲幾何拒之門外；幸運的是，埃舍爾的系列作品已成為最佳嚮導，指引我們通向雙曲空間。

圓極限III和圓極限IV是埃舍爾創作的兩幅木刻（圖1）：前者的主要形象是各色的魚，它們有白色的背脊線和不成比例的大眼睛，緊湊排布在一個圓盤上；後者刻畫的是天使和惡魔，黑白對立，排列在同樣的圓盤上。好好欣賞這些藝術形象吧，不過我們要宣佈：圓盤才是具有魔力的，它使所有的魚都一樣大（天使和惡魔也是如此）。

圖1 埃舍爾的木刻版畫圓極限Ⅲ（左）和圓極限Ⅳ（右）

“魔力”圓盤引導我們得到以下發現：

（1） 指數增長的空間。圓盤上的每條魚都一樣大，之所以遠離中心的魚看起來小，並不是魚真的變小，只是因為圓盤在此處“膨脹”了。事實上，圓盤空間是指數級增長的：當半徑為r時，圓盤的面積將增長為——圓盤面積=單條魚的面積×魚的數量，而魚的數量在指數增長——我們熟悉的面積公式不再適用。

如果來到圓盤邊緣，每一條魚會顯得無限小，此時圓盤裝下了整個宇宙。

指數增長使得圓盤極不均勻——外部緊密而內部稀疏，這也會影響長度的計算。由於每一條魚大小相等，因而可用魚長作為標尺。在圖2中，黃色虛線比紅色實線經過了更多條魚（黃線更長），這意味著兩點之間的最短距離不再是直線，而是向圓盤中心彎曲的曲線。

圖2。 圓盤上兩點的距離（紅色實線為最短路徑）

圖3。 圓盤上的三角形（圖中三角形角度趨近於0）

三條首尾相接的線段仍然構成三角形，但三角形的內角和不再是180度，而是小於180度。有多小呢，答案是可以趨於0度！

（2） 連續的層級。在圓極限IV上，每位白色天使鄰接三個黑色惡魔，惡魔也鄰接三位天使，從圓盤中心到邊緣層層展開。在圓極限III中，魚的脊線交織，也形成類似的結構。

這是不是讓你想到了無窮分叉的樹結構？樹結構有一個根節點，從根節點往外層層分叉，節點數量隨著層數指數增長。更重要的是，圓盤上的距離也近似於樹結構上的距離：在圓盤上，兩點間的最短路線偏向圓盤中心（圖2中的紅色實線）；在樹結構上，兩節點的最短距離則要經過它們共同的父節點。

圖4。 樹結構與圓盤（右圖圓盤中從A到B，可沿綠色分支，也可沿黃色點行走，距離是相近的）

圓盤和樹的區別僅在於：樹結構的分支互不相通——如果你走錯一個分支就必須先返回到上一層，再去探尋另一條分支；而在圓盤上，你既可以按層級行走（沿著分支），也可以徑直走過去，路線更加靈活，但距離是相近的。

至此我們已經初識了圓盤模型，它是指數增長的空間，又可以看作連續的樹結構，與歐式空間大不相同——感謝埃舍爾的指引，現在可以正式介紹這個“魔力”圓盤了，它全名叫貝爾特拉米-龐加萊圓盤，也常簡稱龐加萊圓盤，是雙曲空間的一種模型。

身在雙曲空間會有何種體驗呢？舉個例子，在龐加萊圓盤上，當一個物體離開你時，它將很快縮小就像突然消失；而當它靠近你時，又會很快變大就像突然闖入——這是一個飄忽而來飄忽而去的世界。

著名的雙曲遊戲 HyperRogue 就藉助這個特性設計場景，可想而知，面對飄忽不定的雙曲世界，玩家打怪需要更加繃緊神經。

圖5。 歐式空間（上）與雙曲空間（下）的比較（動圖來源於遊戲 HyperRogue 的錄屏）

2. 細辨雙曲模型

儘管龐加萊圓盤已經廣為人知，但還遠非雙曲空間的全部。細緻地梳理雙曲空間，我們會發現有各種不同的雙曲模型，以及模型背後巨擘如雲、精彩紛呈的非歐幾何史。

曲率、鑲嵌、海珊瑚

為什麼有的空間會呈現指數增長呢？這要從曲率說起。曲率衡量空間的彎曲程度，可分為三種：直線/平面不彎曲，曲率是0，圓/球的彎曲使空間封閉，還有一種彎曲使空間發散。

圖6 三種曲率

空間的大小可以用多邊形鋪貼（在數學中叫做鑲嵌）來比較。曲率如何影響空間的大小呢？來看一個例子：下圖有三種曲面，左邊的是平面，用正六邊形可以均勻鋪滿；中間的是足球形（近似球面），鋪滿這樣的球面要用一些正五邊形（黑色）來替代正六邊形，從而“節約”了一些面積；而右圖中需要填充一些正七邊形（黑色）來替代正六邊形，此時空間是翹曲的，因而增大了一些面積。

圖7 曲率與空間的大小

由此可知，正曲率對應的是封閉空間（如球形空間），它使空間收縮（相對於平面）；負曲率對應的是開放式無限空間（如雙曲空間）。

你可能會問，負曲率能使空間變得多大呢？首先，曲率有大小：翹曲越多，空間擴張就越多。在下圖中，每個交點處拼接了5個正方形，翹曲使得曲面多裝下了一塊正方形（相比於平面）。如果我們翹曲更多，例如在一點拼接6個正方形（實際不一定可行），空間就會變得更大。

圖8 翹曲的平面（圖片來源於網路）

其次，空間是連續的，在一點處彎曲，鄰近的點也跟著彎曲，從單點擴充套件到區域，整個空間就呈現為指數增長。許多海洋生物在漫長的演化中學會了將身體舒展成雙曲空間，從而極大地擴充了體表面積：例如，海珊瑚的尺寸並不大，但如果沿著它的邊緣繞上一圈，經過的距離將千百倍的放大。

圖9 鉤針編織的海珊瑚（圖片來源於https：//crochetcoralreef。org/）

圖10 銀耳（圖片來源於網路）

至此我們瞭解了曲率這個重要概念， 而雙曲空間正是由曲率來定義：雙曲空間是具有負常數曲率的空間。非同尋常的雙曲幾何，如最短路徑是曲線，三角形內角和小於180度等，都是負曲率引起的。如果你繼續尋找還能發現更多：在雙曲空間裡不存在矩形，圓的面積和周長按同樣的速度增長，等等。

地圖投影

我們已經介紹了龐加萊圓盤和海珊瑚，你可能會疑惑，他們看起來如此不同，真的是同一類空間嗎？

這個問題可以類比地圖投影來回答：地球只有一個，但是將它展開成地圖則有很多種方式。設想地球中心有一盞射燈，光線穿過地球落在投影面上就形成地圖。這些地圖保留了大部分球面資訊，但同時也會產生變形和扭曲。

與地球-地圖投影類似，雙曲空間只有一個，而雙曲空間模型有很多種。那麼猜一猜海珊瑚和龐加萊圓盤誰是真正的雙曲空間？答案是——它倆都是投影，而真身並不可見——大數學家希爾伯特證明，雙曲空間不能等距的嵌入到3維歐式空間，也就是說我們不可能看到完整的雙曲空間。

想象整個雙曲空間是困難的， 也是令人興奮的，它一直可追溯到古希臘數學家歐幾里得的平行公設——世世代代的數學家為此追問了上千年，到19世紀終於結出了非歐幾何的碩果，使幾何學迎來高光時刻。

共形模型

最常見的一類雙曲模型叫做共形模型，共形性也被稱為保角性，是指圖形在投影前後尺寸有縮放，但形狀保持不變。龐加萊圓盤就是典型的共形模型，除了保角它還將所有空間對映到一個單位圓盤上，賦予我們上帝視角，這也是它廣受歡迎的原因之一。

共形模型的缺點是保角不保距，在埃舍爾的圓極限中，我們已經知道同一條魚投影在不同點就有不同的大小；不但不保距，共形模型計算距離的方式也比較複雜。

圖11 作為共形模型的龐加萊圓盤（上圖為圓盤上的平動，下圖為轉動，注意在運動中直角保持不變）（圖片來源於http：//bulatov。org）

共形圓盤的對稱性和層次感不僅令數學家欣喜，也為藝術家所青睞，從埃舍爾畫作開始，共形圓盤的造型作品層出不窮。

圖12 以共形圓盤為表現形式的藝術作品（圖片源於網路）

另一種常見的共形模型是上半平面模型（全稱貝爾特拉米-龐加萊半平面，簡稱半平面模型），它是下部有邊界而上部無限開放的半平面。在半平面模型中，自上而下的層級非常顯著——類比樹結構，不難發現半平面上部無窮遠處對應著樹的根節點，而下部邊緣對應葉子節點。

圖13 上半平面模型，五邊形鑲嵌（圖片來源於網路）

圖14 上半平面模型，黑白三角形鑲嵌（圖片來源於維基百科）

在半平面模型中，空間的指數增長在下部邊界附近更為顯著。由於具有共形性，半平面模型上的平動和轉動也保持角度不變。

圖15 半平面模型的平動（上）和轉動（下）（圖片來源於http：//bulatov。org）

兩種共形模型——圓盤和半平面之間可以互相變換：圓盤的邊緣對應半平面的下邊界，而圓盤中心被對映到半平面上方的無窮遠處。這個變換仍然是保角的，叫做莫比烏斯變換。沒錯，就是發現莫比烏斯環的那位。

圖16 莫比烏斯與共形模型變換（圖片來源於網路）

圓盤模型和半平面模型是使用最多的共形模型，但實際上共形模型還可以有很多種。黎曼對映原理指出，任何單連通（沒有洞）的圖形都能共形地對映到單位圓內，反之亦然。也就是說共形模型之間都可以互相變換。

例如Bands模型，使用雙曲函式將圓盤展開拉伸，變成一條帶子。於是埃舍爾的魚便可以游到帶子上了。

圖17 從圓盤模型變換到Bands模型（圖片來源於http：//bulatov。org）

圖18 圓極限Ⅲ的Bands模型版本（圖片來源於網路）

有了黎曼對映定理的加持，共形模型還可以變換出星形、環形、螺旋形。…。。這就是為什麼數學家的信條是，發明（或證明）一個定理才是一件最實用的事！

圖19 共形模型的各種變換（圖片來源於http：//bulatov。org）

射影模型

另一類雙曲空間模型叫做射影圓盤模型，也叫貝爾特拉米-克萊因模型，或克萊因圓盤。克萊因是19世紀德國的數學家，他把那個時代的所有幾何統一起來，從群論的角度去分析，從而影響了幾何學數十年的發展，這就是著名的“埃爾朗根綱領”。

克萊因模型的優勢在於：（1）圓盤上的弦就是雙曲空間中的直線（2）圓盤上的距離計算相當簡單，僅使用線段比例即可，這也是它得名射影圓盤的原因。

圖20 克萊因圓盤（左）與龐加萊圓盤（右）上的直線（圖片來源於網路）

圖21 克萊因圓盤上的長度計算（圖片來源於網路）

克萊因圓盤不再是保角的，這意味著圓盤上的圖案會發生變形：例如圓會表現為橢圓形，那麼埃舍爾的魚游到射影圓盤上是什麼樣子呢？

圖22 圓極限克萊因圓盤版（圖片來源於書籍Hyperbolic geometry）

圖23 克萊因圓盤上的三角形（圖片來源於網路）

也許你不熟悉克萊因圓盤，但是聽說過克萊因瓶嗎，那個4維空間的瓶子？是的，盤子和瓶子出自同一位。順便說一句，克萊因瓶是莫比烏斯環的高維對應物。

圖24 克萊因與克萊因瓶 （圖片來源於網路）

雙曲面模型

除了共形模型和射影模型，還有一種重要的模型叫雙曲面模型，也叫閔可夫斯基模型。雙曲面模型有明確的物理意義，尤其是與狹義相對論密切相關。

雙曲面模型是雙曲空間的三維等距嵌入模型。等等，希爾伯特不是說過雙曲空間無法嵌入到三維歐式空間嗎。沒錯，但是雙曲面嵌入的這個空間不是歐式空間，而是閔可夫斯基空間。閔可夫斯基空間和歐式空間的距離定義不同：在閔可夫斯基空間中的居民看來，雙曲面是最完美的幾何體，就像我們看待球面一樣，它是到定點的距離為定長的點集。

圖25 雙曲面模型（圖片來源於論文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks）

除了距離比較反常之外，雙曲面模型其實具有很好的對稱性，並且符合我們的物理直覺。例如，雙曲面模型與過原點的平面相交所成的交線即為測地線。

前面講了球面可以有很多投影，雙曲面是閔可夫斯基空間中的球面，那它也可以有很多投影，於是戲法就來了：從頂點向雙曲面投影，在水平面上將得到龐加萊圓盤（注意測地線是曲線）。

圖26 雙曲面與龐加萊圓盤（圖片來源於網路）

這個投影點其實是雙曲面另一個分支的頂點。

圖27 雙曲面與龐加萊圓盤（二）（圖片來源於網路）

從座標原點向雙曲面投影，在頂點的切平面上將得到克萊因圓盤（注意測地線是直線）。

圖28 雙曲面與克萊因圓盤（圖片來源於網路）

如果採用平行光線投影，則可以得到Gans模型，Gans模型是另一種共形模型。

如果採用墨卡託投影，甚至可以得到Bands模型……

圖28 雙曲面與Gans模型（圖片來源於網路）

每一條定理、每一個模型都是數學史的濃縮，非歐幾何巨擘除了本文已經提到的幾位，還有羅巴切夫斯基、曼德布羅特等，雙曲空間是巨擘們用數學和想象力創造出來的平行宇宙。

圖29 非歐幾何群星（上排左起：羅巴切夫斯基、鮑耶、克萊因、龐加萊，考克斯特，米爾諾；下排左起：哈伯德，瑟斯頓，曼德博，佩雷爾曼）（圖片來源於網路）

3. 跨學科旅行

如果你能讀到這裡，大概已經被雙曲空間的各種模型看得眼花繚亂了，關於幾何的部分就談論到此，接下來坐穩扶好，讓我們開啟一場與雙曲空間有關的跨學科旅行。限於筆者學識，這場旅行只能浮光掠影，希望能引起讀者興趣，收到拋磚引玉之效。

意識幻覺是雙曲空間嗎

還記得前面提到過，雙曲空間是一個飄忽而來飄忽而去的世界嗎？仔細想想，大腦有時好像也是這樣！時間流逝，過去的事情在記憶中被壓縮得很小，想找也找不著，但是有一點線索牽引，它又突然浮現了。

服用迷幻藥物後的體驗則更奇特（據可信記錄，

請勿嘗試

）：觀察者首先覺得周圍的圖景更加清晰（就像圖片處理中的銳化效果），然後事物會扭曲好像長出尖角，周圍的圖案會不斷重複形成層級，空間容納了越來越多的物體，並且有視窗通向接連不斷的異度空間。…。。

圖30 致幻作用下的視覺體驗（圖片來源於https：//qualiacomputing。com/）

研究者認為大腦在致幻藥物作用下感知的意識世界是雙曲空間，並給出了詳細論證。聽起來很迷幻，但卻是哈佛大學迷幻科學俱樂部的一項嚴肅研究，更新的研究進展讓我們拭目以待。

雙曲空間與相對論

愛因斯坦構建狹義相對論所用的時空正是閔可夫斯基時空，也就是雙曲面模型。狹義相對論中，常用光錐來圖示化時空，每一點表示一個時空事件。下圖中心點代表此時此刻，上部的圓錐是此刻能夠影響到的未來，下部的圓錐是能夠影響此刻的過去。在這樣的系統中，不同觀察者的參考系變換對應於雙曲空間的等距變換。

圖31 光錐圖示（圖片來源於維基百科）

雙曲幾何與複雜網路

網路科學創立之初，以其發現的冪律分佈、小世界特性（六度空間）而聞名，但是為什麼複雜網路具有這些性質，緊接著成為重要的問題。複雜網路的種種特性意味著它不是隨機生成的，而是有內在的幾何結構（尤其是層級性），而雙曲空間正是複雜網路背後的幾何。在生成網路的過程中，如果按節點之間的雙曲距離來產生連線，那麼網路的度分佈、小世界等特性都可以自然的推匯出來。當前雙曲幾何與神經網路深度交叉，已經成為網路科學和機器學習領域的熱點問題。

圖32 複雜網路的雙曲幾何（圖中紫色區域為雙曲圓，中心節點與雙曲圓內的節點有更大的機率產生連結，這與真實網路基本吻合，圖片來源於論文Generating massive complex networks with hyperbolic geometry faster in practice）

雙曲貼現與行為經濟學

雙曲貼現，指的是人們在評估未來的收益時，傾向於在近期使用更低的折現率，在遠期使用更高的折現率——人們常常寧可要眼前較小的利益，也不要日後較多的報酬。

在經濟學中，資金由於其時間價值產生複利，並按指數形式增長。但由於人類的認知特點（如對等待的不耐心），在與預期有關的實際決策中人們中不是按指數效應思考的，非理性決策的結果常常表現為雙曲折現率——更追求當下的利益。

雙曲貼現是行為經濟學的重要基礎，它影響了消費和儲蓄、上癮行為、不對稱資訊和契約設計、資產定價等眾多研究。

圖33 雙曲折現與指數折現（圖片來源於網路）

雙曲與資料科學

組織和管理海量資料是我們這個時代的迫切需求，而雙曲空間的容納能力和內在層級性是資料治理的有力手段，也是大資料中日益重要的研究方向。

實際上，雙曲空間已經在資料科學領域大顯身手，例如知識圖譜的表示方法中，就有一類運用雙曲空間來表示知識的抽象層級；在複雜網路中將節點嵌入雙曲空間，可以完成連邊預測等任務；基於雙曲幾何的網路導航也是一種高效的導航演算法。由於人類知識體系有著顯著的層級特徵，用雙曲空間相關演算法處理知識圖譜和其他資訊的優勢將會得到更多驗證。

下圖是Meta公司將著名的wordnet知識圖譜嵌入到龐加萊圓盤中，圖中心是最抽象的節點“實體”，越往外是越具體的物件或概念。

圖34 知識圖譜的雙曲嵌入 （圖片來源於https：//github。com/facebookresearch/poincare-embeddings）

雙曲與藝術

雙曲造型是科學和藝術融合的一個典範：雙曲幾何為藝術家提供了源源不斷的素材和靈感，藝術作品則使雙曲幾何不只躺在數學家的手稿中，而是廣泛影響了人類體驗。本文在行文中穿插了一些藝術作品，但僅是冰山一角，在建築、服飾、繪畫、遊戲、設計等藝術門類中都有鮮明的存在。

圖35 廣州塔，塔身按單葉雙曲面設計（圖片來源於https：//www。klook。com/）

圖36 陽臺（埃舍爾，1945）

圖37 服飾（該服裝形狀經旋轉可形成雙曲面，圖片來源於東京時裝展）

圖38 雙曲主題遊戲HyperRogue（圖片來源於網路）

圖39 雙曲掃雷遊戲mineswipper

4. 總結

在本文中，我們從欣賞埃舍爾的畫作開始認識雙曲空間，隨後縱覽了雙曲空間最重要的幾種模型，再沿著學科脈絡進行了一番漫遊。雙曲幾何這一領域始於對平行公設的顛覆，歷經數代數學家的發展已成知識大廈，並深刻滲透到各個學科和人類活動中。

在雙曲旅行即將結束之際，我們來回顧本文內容，列出如下的文章結構——這不過是一個普通的思維導圖，但當讀者讀罷此文，應當意識到這同時也是樹結構，並且通向一個廣闊的雙曲空間。

參考資料：

雙曲幾何與半球面模型的幾種射影：https：//www。toutiao。com/video/6849683592776253966/？channel=&source=search_tab

何為雙曲空間？關於非歐幾何的視覺化解釋（第一部）：https：//www。bilibili。com/s/video/BV1mL4y1a7Xx

Conformal Models of Hyperbolic Geometry

鉤針編制雙曲空間：http：//bulatov。org/math/1001/

非歐建築設計：

https：//www。google。com。hk/search？q=architecture+non+euclidean+space&tbm=isch&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwjckuGf8sr5AhUKgpQKHSaICxsQtI8BKAB6BAgAEC8

DMT與雙曲幾何：https：//qualiacomputing。com/2022/05/02/dmt-and-hyperbolic-geometry-1-million-views-special/

Hyperbolic discounting — The irrational behavior that might be rational after all：

https：//chris-said。io/2018/02/04/hyperbolic-discounting/

複雜科學×藝術系列研討會公開報名中

20世紀下半葉以來，受到複雜性研究啟發的“思維方式”已迅速傳播到認知活動的多個領域。混沌、自組織、臨界、自創生、湧現 ……其概念層次的豐富性為我們提供了研究世界的靈活工具。從這個意義上說，我們有理由將複雜性理論視為一個擴充藝術與科學之間交叉領域的重要課題。藝術對複雜性做出反應的一種基本方式是創造出顯示“湧現行為”的系統。就本體論而言，我們不再將藝術品視為靜態之物，而是將其看作不斷髮展的創造性過程的一個例項。同時，新興的複雜科學（Complexity Science）也向當代藝術實踐者提供了一個敞開的工具箱，這些工具包括混沌、分形、元胞自動機、遺傳演算法、蟻群演算法、人工神經網路、L-System、人工生命等，它們進一步推動了數字美學、生物藝術與人工智慧藝術等領域的發展。複雜科學不僅幫助我們深入瞭解意識和生命系統的生成機制，而且有利於激發各學科的研究者和實踐者協同發掘後人類創造力和新美學的潛力，以期開啟更趨向於綜合性的創意空間。

由集智俱樂部主辦，心識宇宙研究院院長、科普作家十三維，藝術評論人汪嫣然和策展人龍星如聯合發起的“複雜科學與藝術”研討會，旨在匯聚各領域內的行動者與思想者——包括科學家、藝術家、學者及相關從業者——展開超越單一學科的跨界知識討論，探索複雜性研究與人文藝術潛在的交叉地帶。本研討會從2022年7月開始，每月舉辦一次，共計十二期。

原標題：《雙曲空間漫遊指南：一場琳琅滿目的跨學科之旅》