無論點在哪裡，造物有靈，定值永恆！欣賞高中數學圓錐曲線對稱之美

造物是永恆的嗎

“致中和，天地位焉，萬物育焉。”古人把和諧平衡的意念之美，轉化生活的點點滴滴，久而久之，形成了對稱之美。對稱是世界公認的美的因素，對稱是和諧的佈局，對稱是歲月靜好，或簡潔凝練，或華麗婀娜，對稱是我中有你，對稱也是你中有我！

圓錐曲線是公認對稱的代表，自阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》問世後，無數數學大神都在探索曲線圖形中對稱的美，曲線中的每一個點都不是孤獨的，總有另一個它時刻與你對稱，或是x軸的，或是y軸的，或是原點的。

今天分享兩個圓錐曲線的結論，從對稱開始，到定值結束。無論點在哪裡，造物有靈，定值永恆。

結論一：對稱點對，距離等積

過橢圓對稱軸上一定點Q(t,0)的動弦AB，一端點B與另一端點A關於座標軸的對稱點A’的連線BA’交對稱軸於點P，則|OP||OQ|=a²定值。

過雙曲線對稱軸上一定點Q(t,0)的動弦AB，一端點B與另一端點A關於座標軸的對稱點A’的連線BA’交對稱軸於點P，則|OP||OQ|=a²定值。

透過例1給出詳細的解題過程，同時可證明該結論。

【分析】

（1）根據A，B兩點對稱，設出座標，代入數量積的式子中，得到關於A點橫座標的二次函式，進而求出最值，和拋物線方程

（2）易知此題A，B正式關於x軸對稱的兩點，而點M也是橢圓上一點，故滿足結論，答案應該是a²=4。此類題型在計算的時候不要盲目的設直線方程，韋達定理，這種題並不是常規的設而不求的思想，由於我們需要點P和點Q的橫座標，故需要利用A，B，M三點去表示出直線AM和BM，然後表示出點P和點Q的橫座標。最後利用點A，B，M在橢圓上的關係式，把設的未知數約掉，進而得到定值。

第一問詳解

第二問詳解

練習題1

練習題1

【分析】此題是結論的退化版，關於x軸對稱的兩個點退化成短軸的兩個端點，顯然結論依然成立。這裡不在贅述。

練習題2

練習題3

練習題4

【分析】此題的對稱點A，B是關於y軸對稱，那麼定值是否依然存在呢？結果又有什麼變化呢？

練習題5

結論二：

A,B是橢圓的左右頂點，動弦CD與x軸交於點P(t,0)，直線AC與BD交於點Q，則向量OP和OQ的數量積為定值，定值為a²

A,B是橢圓的上下頂點，動弦CD與y軸交於點P(0,t)，直線AC與BD交於點Q，則向量OP和OQ的數量積為定值，定值為b²

雙曲線也有類似的結論，鑑於雙曲線不考察大題，感興趣的同學可以自己手動作圖尋找結論。

結論的證明我們依然不再給出，同樣的，透過例2的計算過程附加把該結論進行證明。

【分析】

（1）略（2）解出CD兩點座標，根據兩點間距離求線段CD的長。（3）設直線CD的斜率為k（注意考慮k不存在的情況），寫出直線CD方程並求出點P座標，直線CD與橢圓聯立解得點D座標（用k表示），寫出直線AC和直線BD的方程，聯立後解出點Q座標，代入向量OP和OQ中，得出定值。記住該結論，確保計算結果萬無一失。

【分析】（1）略（2）略（3）此題A，B是橢圓的上下頂點，故數量積的定值為b²=1

練習題1

練習題2

練習題3

練習題4

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