旋轉線段的中點軌跡問題，2022年山東濱州中考數學選擇壓軸題

中考數學有一類題型，是關於旋轉中的線段的中點運動軌跡的問題。下面是2022年山東省濱州市中考數學的選擇壓軸題，就是這種題型的一個典例。

正方形ABCD的對角線相交於點O(如圖1)，如果∠BOC繞點O按順時針方向旋轉，其兩邊分別與分AB, BC相交於點E，F(如圖2)，連線EF，那麼在點E由B到A的過程中，線段EF的中點G經過的路線是( )

A.線段；B.圓弧；C.折線；D.波浪線

分析：解決這道題，其實非常容易。什麼折線，波浪線的，有點搞笑，特別是波浪費，那根本就不太可能嘛。所以我們應該大膽點，排除掉這兩個選項。

這樣問題就簡化成判斷AB的中點軌跡是線段還是一段圓弧了。下面我們只要選擇兩個比較特殊的中點位置，就可能解決這道題了。

因為當E點和A點重合時，點G是AB的中點（與圖2的E點重合）；當E點和B點重合時，點G是BC的中點（與圖2的F點重合）；因為G1，G，G2分別是AB，OB，BC的中點，所以E， G， F在同一直線上，因此排除掉B選項。這是因為圓弧上是不可能有三個點在同一直線上的。其實折線也是可以排除的，因為除非有兩個折點（從對稱性來看，甚至需要三個折點），否則這三點也不可能在同一直線了。從而，正確的答案選A。

不管怎麼說，這種方法快是快，30秒內應該能夠解決，但還是有點不嚴謹。因此，老黃下面要分享一種嚴謹，但可能會花多一點點時間的方法。

如圖，連線OG， BG，根據“直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，有：OG=EF/2， BG=EF/2， 其中OG是直角三角形OEF的斜邊中線，BG是直角三角形BEF的斜邊中線，而它們的斜邊都是EF。

又由線段OB的垂直平分線的判定定理，點G到OB兩個端點的距離OG=BG，就可以知道，點G一定在OB的垂直平分線上。即點G經過的路線是一條線段。

看來嚴謹的方法也是蠻簡單的嘛。雖然第一種解法不太嚴謹，但它很合老黃的胃口，老黃在中考考場上，比較容易想到這樣的方法。嚴謹的方法不一定很快就能想到。那麼，在中考的考場上，你更容易想到哪種方法呢？