【知識點】為什麼數系會按照自然數的運算過渡到整數和有理數產生？

有理數集是稠密集嗎

如果說數構成數學大廈的磚瓦，那麼數系則構成數學大廈的基本形態。對於自然數的認識是所有數學認知起步階段的基本內容。

在此基礎上再透過自然數的運算過渡到整數和有理數乃至實數，這樣的認知過程和數系的產生歷程是相同的。那麼，為什麼數系會按照這樣的過程產生？其中有著什麼樣的邏輯關係？

一、實數系的產生

原子論與無限可分（無限累加）是認識論裡面的一對矛盾，自然數就是這一對矛盾的產物。自然數系統理解起來最直觀，在歷史上數的家族中也是最先進入人類認識世界的。單位“1”就是原子單元，運算“+”就蘊含無限過程。簡言之，自然數具有“單元不可分”和“數量不可窮盡”相互對立統一的兩重屬性。

有理數是由自然數構造的，自然數中任意兩元素之比（ratio）就構造出了有理數（rationalnumber），或者叫可通約量，通約就表明這種構造的方法的哲學基礎是原子論——分子分母各是某一個共同的“原子”的若干倍。

一般我們把有理數集記作Q，也說明了這一層意思，是英語quotient的第一個字母，表示商的意思。但是由於構造的材料是自然數中“任意”的兩個元素，“任意”二字這就把自然數不可窮盡的性質帶到有理數當中來了，使得有理數獲得了一種新的性質———稠密性，即任意兩個有理數之間存在無窮多個有理數。可以清楚地看到，“單元不可分”讓了一步，“1”可以分裂了，“數量不可窮盡”就進了一步，不但往大了說是無限，往小了說也是無限。

而實數又是在有理數的基礎上構造出來的。從有理數到實數的跨越經歷了一個漫長的時間，從畢達哥拉斯學派根號2的發現到魏爾斯特拉斯等人建立嚴格的實數理論，其間經過了兩千多年。每一個有理數的確定依賴於兩個自然數不同，每一個實數依賴於無窮多個有理數而確定，即任意實數x是由區間套序列{［an，bn］}來準確地描述的。無限十進位制小數是定義實數的許多種方法之一，其依據就是區間套公理。從這裡可以看到，“單元不可分”又退了一步，從有理數的“單元可分”退到“無論你怎麼分都不頂事（對無理數而言）”的地步。

從以上的歷程可以看出，人類的認識是在向“無限”領域進軍的，或者說“無限”越來越成為矛盾的主要方面了。

魏爾斯特拉斯

二、集合觀點下的實數系

有了集合論之後，就可以用集合論的語言來描述很多問題。實數系從語義上可以直觀解讀為實數系統。系統就是定義了關係的集合，相對穩定的性質稱為結構。在舊的系統基礎上構造新的系統，新系統一定是具有部分舊系統的性質，但是又必定要以捨棄部分舊性質為代價，以獲取新的性質。對於集合來講，無論多少個元素，可以說直觀的理解都是離散的，而且在沒有定義任意兩元素關係之前，連續是無法確切理解的。連續的直覺可以是源於變化事物大小的比較，主要是基於空間的尺度，依賴於有序性。連續的直覺還可以是源於相鄰無間，即中間不能插入同類元素。綜合相鄰和有序兩層直覺含義，自然數是連續的，而有理數和實數的稠密性表明它們是不連續的。可以毫不客氣地說，藉助有理數與實數的結構來理解連續是非常費勁徒勞無益的事情。然而連續又是分析數學中一個基礎性的概念，這實在是一件讓人頭痛的事情。

人類對世界的認識分定性定量兩個方面，度量單位的獲取標誌著進入定量時代，度量單位越發達就表明定量的面越廣泛，比如語文中的量詞；度量單位越小，就表明定量越精確，比如物理中的微觀數量級。只要想定量，就一定要依賴於“原子論”的方法，必須有基本單元。“原子論”之所以不斷讓步，就是為了獲得更高程度的精確，達到更高要求的定量。

“點”就是現階段數學裡面的“原子”，這個特殊的“原子”就是原子論與無限可分（無限累加）相互鬥爭的產物。人們承認單位長度在度量中的重要性，但是為了滿足更高的精度，同時也承認了單位長度是相對的，沒有絕對的單位長度，它是無限可分的，這就給認識帶來了困境。人們不禁要問：究竟有沒有最小單位？如果沒有，那實數理論裡面的“點”算什麼？如果“點”就是，那單位長度必定不為0，而點是被規定沒有大小的。這可以稱之為“點之謎”。

三、對於新實數系的猜想

原子論是有著巨大的認識論意義的，這一點無須否認，它以退為進使得人們獲取了近現代整個科學體系。“點之謎”的提出表明已經到了需要重新審視原子論與無限可分（無限累加）這對矛盾的時候了。點的神秘性源於有理數、實數的稠密性，更進一步可以說是源於自然數的無限性。我們知道，只要對1進行反覆累加，如計算機語言中的i=i+1，只要按照這一過程無休止地進行下去就能夠造出自然數集。然而，這一過程相對現實世界是失真的，現實世界中沒有誰會、也沒有誰能這樣無限地累加下去，計算機碰到這種情況只好崩潰。就是說，這一過程必然要在某處停止，停止就意味著有一個數充當著最大數的角色。這時候自然數集可以寫成{無，1，2，…，n，極}，無就是0，極就是最大數，可以用符號@表示。0和@是具有特殊性質的兩個元素，因為它們是質變的標誌。0+m=m，@+m=@，這樣，可以設想0是一個懸崖，而@是一面牆，對於具體問題而言，運算就在這兩者之間進行。因此可以猜想，新的有理數和實數也將被構造出來，那將是一種具體情況具體分析的數量模型。

在新的模型中，無限的含義就變了，無限具有了兩層含義，它在量變的意義上是有限，在質變的意義上是無限。這可以說是“原子論”對“無限可分”的一次反擊，矛盾還要繼續。