不等式問題分類彙總（含參、恆成立、能成立、恰成立……）

不等關係和相等關係是基本的數學關係，它們在數學研究和數學應用中起著重要的作用，本專題特別強調不等式的幾何意義與背景，以加深對不等式的數學本質的理解，提高邏輯思維能力和分析解決問題的能力。

1.含引數不等式的解法

解含引數的不等式時，首先應注意考察是否需要進行分類討論。

（1）一元一次不等式的一次項係數含有關於引數a的代數式f（a）時，需要對f（a）>0、f（a）<0、f（a）=0去進行分類討論。

（2）一元二次不等式若二次項含有關於引數A的代數式f（a）時，需要對f（a）=0和f（a）

0進行討論，而當f（a）

0時，還需要對判別式分

>0，

=0或

<0來討論，當

>0時，需要比較兩個根的大小，設根為

，若含引數，要分

>

，

=

，

<

來進行討論。

（3）若對數或指數的底數中含有引數a，需要分a>1，和0

2. f(x)=a+b+c>0恆成立的充要條件或或.

【注】先將問題轉化成g（t）=a

+bt+c>0，即t

0時，g（t）恆大於0。

3.不等式恆成立、能成立、恰成立等問題

不等式恆成立問題，常應用函式方程思想及“分離常數法”轉化為最值問題，亦可抓住所給不等式的結構特徵，利用數形結合進行求解。

（1）恆成立問題

1）若不等式f（x）>A在區間D上恆成立，則等價於在區間D上f（x）的最小值大於A；即f

>A。

2）若不等式f（x）

【練習1】設實數x，y滿足

+

=1，當x+y+c

時，求c的取值範圍。

【練習2】若不等式

+

>a對一切實數x恆成立，求實數a的取值範圍。

（2）能成立問題

1）若在區間D上存在實數x使不等式f（x）>A成立，則等價於在區間D上f

>A。

2）若在區間D上存在實數x使不等式f（x）

【練習】已知不等式

+

（3）恰成立問題

1）若不等式f（x）>A在區間D上恰成立，則等價於不等式f（x）>A的解集為D。

2）若不等式f（x）

【練習】若不等式

-5

+a<0的解集為（-1，6）求實數a的取值範圍。

4.含引數取值範圍的不等式的成立問題

【典例】對於任意的m

［-1，1］，m

+2

-m>0恆成立，求x的取值範圍。

分析：由於引數m給出了取值範圍，所以可將原題轉變為含m的不等式：m（

-1）+2

>0（-1

m

1）恆成立的問題，設f（m）=（

-1）m+2

，可知f（x）是一次函式，所以只需滿足f（1）>0且f（-1）>0即可。

5.常見不等式彙總

（1）重要不等式：a，b為實數，則

+

2ab（當且僅當a=b時取等號）

（2）基本不等式（均值不等式）a，b為正實數，則a+b

2

（當且僅當a=b時取等號）

均值不等式基本應用場景：1）放縮，變形；2）求函式最值，方法有“拆、湊、平方”等。

【注】用均值不等式求函式的最值時必須同時具備“一正、二定、三相等”三個條件才能應用，尤其要注意定值；如果等號不能成立，可以考慮用導數求最值。

（3）

+

+

3

（a>0，b>0，c>0）。

（4）

+

+

+

+

（a，b，c為實數，當且僅當a=b=c時取等號）

（5）

-

+

。

（6）

+

。

（7）若a>b>0，m>0，n>0，則

<

<1<

<

（加糖不等式）

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