通性通法｜函式“零點問題”最常三招

極值點導數一定為零嗎

要說導數中最常見的題型，當然應該就是零點問題了。

有娃說，極值點也是常考的。

但極值點不就是導函式的零點麼！

也刻意翻了翻近幾年的全國卷考題：

是不是發現，函式的零點，絕對算是個高頻考點了？

零點考什麼？

高考中對於零點的考查，主要還是透過函式零點的這個問題背景，考查考生的邏輯推理和數學運算能力的。

邏輯推理和數學運算，不正是很多同學的弱項的麼？

所以說，零點問題，對於很多同學來說，還是有一定的難度的。

當然，今天我們主要介紹零點的一般性處理思路，看看能不能達到類似於通性通法的效果。

那麼，還是先熟悉一下零點的相關概念吧。

Part 1

相關知識點

一、函式的零點

①函式零點的定義：

對於函式y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的實數x叫作函式y=f(x)(x∈D)的零點。

函式的零點不是座標，也不是一個具體的點，而是一個數。

②函式零點的意義：

函式y=f(x)的零點就是方程f(x)＝0的根，也是函式y=f(x)的影象與x軸交點的橫座標。

③零點存在性定理：

如果函式y=f(x)在區間[a,b]上的影象是一條連續不斷的曲線，並且f(a)·f(b)<0，那麼函式y=f(x)在區間(a,b)內至少存在一個零點。

存在性定理，只能判定函式在某個區間內有沒有零點，但不能判定零點個數。零點個數的確定往往需要結合函式的影象去進行判定。

④二分點估算零點

第一步：確定區間[a,b],並驗證f(a)·f(b)<0,

並給出精度ε；

第二步：求區間(a,b)的中點x1；

第三步：計算f(x1).

①若f（x1）＝0，則x1就是零點；

②若f（a）·f（x1）<0，則令b=x1，

此時零點x0∈（a，x1）；

③若f（x1）·f（b）<0，則令a=x1，

此時零點x0∈（x1，b）；

④判斷x0是否達到精度ε，即|a-b|<ε，

則得到零點a或b；若達不到，則重複

第②到④步。

二、零點的求法

在具體問題中，求函式零點一般可以從以下角度進行處理。

①直接利用方程求零點：

令f（x）=0，求出方程的根，方程的根即為函式零點；

②利用影象交點求零點：

將函式變形為兩個函式的差，利用數形結合，將零點問題轉化為兩個函式影象的交點問題；

③利用零點存在性定理：

先確實函式在［a，b］上影象連續，且f（a）·f（b）<0，並結合函式性質（單調性、對稱性、極值）確定有幾個零點。

Part 2

典型例題解析

透過前面對近幾年高考題的研究，你應該已經發現了，切線的求法，也應該要引起重視的。

曲線的切線方程求法：

①對於二次曲線y=f(x)：由y=f(x)及直線y=kx+b聯立消元后，利用Δ＝0，並結合已知點或斜率，求得切線方程。

②對於一般曲線：根據已知切點或設切點橫座標x0求出切線斜率f'(x0)，利用點斜率式寫出切線方程。

求出b的值以後，我們就可以從解方程、數形結合和零點存在性定理這三個角度，對零點的個數及零點的大小進行分析了。

Ideas 1

方程的角度

Ideas 2

數形結合角度

Ideas 3

函式性質角度

以上是解決函式零點問題最常規的三種思路分析，雖然用它們並不一定能夠解決所有的零點問題，但應該會讓我們對於函式的零點，有一個更清晰的認識。同時也提醒我們，平時要透過處理類似的綜合性問題，提高自己分析和解決問題的能力。

最後再強調，函式零點的處理主要從下面三個角度切入分析：

方程的角度↓

分離函式後數形結合角度↓

零點的存在性定理角度

END