數學中的魔法之環--莫比烏斯環

偶然一次講座的準備工作，我深深的陷入了對莫比烏斯環的思考與喜愛。

莫比烏斯帶（Möbius strip或者Möbius band），是一種拓撲學結構，它只有一個面（表面），和一個邊界。它是由德國數學家、天文學家莫比烏斯（August Ferdinand Möbius）和約翰·李斯丁（Johhan Benedict Listing）在1858年獨立發現的。這個結構可以用一個紙帶旋轉半圈再把兩端粘上之後輕而易舉地製作出來。事實上有兩種不同的莫比烏斯帶映象，他們相互對稱。如果把紙帶順時針旋轉再貼上，就會形成一個右手性的莫比烏斯帶，反之亦類似。

做幾個簡單的實驗，就會發現“麥比烏斯圈”有許多驚奇有趣的結果。

莫比烏斯帶實驗

實驗1

在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“麥比烏斯圈”，再沿線剪開，把這個圈一分為二。

【結果】照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開後竟是一個大圈兒。

實驗2

在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發點，猜一猜，剪開後的結果是什麼，是一個大圈？還是三個圈兒？

【結果】新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。把上述紙圈再一次沿中線剪開，這回就一分為二了。得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含於兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身並不打結罷了。

具體請參看影片

影片載入中。。。

莫比烏斯的神奇，貴在它的一面性。如果沿著莫比烏斯環的中間剪開，將會形成一個比原來的莫比烏斯環空間大一倍的、具有正反兩個面的環，而不是形成兩個莫比烏斯環或兩個其它形式的環。如果再沿著環0的中間剪開，將會形成兩個與環0空間一樣的、具有正反兩個面的環，且這兩個環是相互套在一起的，從此以後再沿著環1和環2以及因沿著環1和環2中間剪開所生成的所有環的中間剪開，都將會形成兩個與環0空間一樣的、具有正反兩個面的環，永無止境……且所生成的所有的環都將套在一起，永遠無法分開、永遠也不可能與其它的環不發生聯絡而獨立存在。

因此，一系列具有無限意義，可迴圈意義的藝術品隨之誕生了：

一、莫比烏斯帶座椅。莫比烏斯帶是一個迷人的幾何表面，它只有一個面和一個邊界，代表著可能性和永無休止的迴圈。葡萄牙設計師與建築師Pereira Migue將它的這種特性融入於家具設計中，為貝納通帶來了United Colors座椅。

二、針式印表機靠列印針擊打色帶在紙上留下一個一個的墨點，為充分利用色帶的全部表面，色帶也常被設計成麥比烏斯圈。

三、在美國匹茲堡著名肯尼森林遊樂園裡，就有一部“加強版”的雲霄飛車——它的軌道是一個麥比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。

四、麥比烏斯圈迴圈往復的幾何特徵，蘊含著永恆、無限的意義，因此常被用於各類標誌設計。微處理器廠商Power Architecture的商標就是一條麥比烏斯圈，甚至垃圾回收標誌也是由麥比烏斯圈變化而來。

Next設計的長沙龍王港新橋

五、1979年，美國著名輪胎公司百路馳創造性地把傳送帶製成麥比烏斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶環面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長了整整一倍。

六、Next設計的長沙龍王港新橋。這座如緞帶般優美柔和的人行橋是Next建築事務所為湖南長沙龍王港設計的一座體現傳統文化的橋樑。橋身長150米、高24米，其獨特的莫比烏斯帶（中國結）造型在為堅毅的橋樑注入柔美氣質的同時，也加大了和江邊及周圍山體配合的施工難度。

七、還有環保衣撐，可迴圈標誌，代表一生一世的戒指等

八、2007年世界夏季特奧會會標 “眼神”為主題的紀念雕塑，“轉換一種方式，你將獲得無限發展”

九、三葉扭結：中國科技館的標誌性的物體，是由莫比烏斯環演變而來的，向觀眾展示人們對數學分科拓撲學等方面探索的無限興趣。

十、還有很多藝術品，比如MC Escher的木刻，描繪螞蟻在沿著長條的一個無休止的步行這可能是他最有名的藝術表示。埃舍爾透過繪畫技巧，在二維畫布上營造一個三維空間，並再三維空間上透過一隻紅蟻展示莫比烏斯帶的奇妙特性。埃舍爾自稱為“圖形藝術家”，他在世界藝術中佔有獨一無二的位置，被稱為三維空間的鼻祖。他是典型的在數學中尋找創作靈感的藝術家，他的作品——主要是帶有數學意味的作品——無法歸屬於任何一家流派。在他之前，從未有藝術家創作出同類的作品，在他之後，迄今為止也沒有藝術家追隨他發現的道路。數學是他的藝術之魂，他在數學的勻稱、精確、規則、循序等特性中發現了難以言喻的美；下面就來看看埃舍爾是怎樣玩兒壞莫比烏斯環的。

這個作品叫《騎士》，埃舍爾試圖在二維空間裡表現莫比烏斯帶，但他巧妙地避開了穿越，用平面鑲嵌將莫比烏斯環中間連在一起，帶子正反兩面行走著同向卻反色的騎士，本來在莫比烏斯帶走的騎士走遍帶子的兩面都不可能改變顏色，但透過這個連結的平面，互為反色的騎士確鑲嵌易位了。物理學家楊振寧的《基本粒子發現簡史》封面就是用的這幅作品

這幅畫看起來好像兩個相套又分離的莫比烏斯帶，又好像這兩個帶子是連在一起的，帶子上面連續嵌著的各個圓臺好像是凸的，又像是凹的，讓人玩味不已。

這幅畫叫連體，兩個三維的男女腦袋被降維成了連在一起糾纏交錯的莫比烏斯帶，強烈的表達出一種親密交融同生共存的資訊。

另外，他還造出“三環”的莫比烏斯環。方法是：把莫比烏斯環再次扭轉一次

最後，埃舍爾又從“三環”的莫比烏斯環，弄出一個“結”！就像這樣，城會玩啊有木有。莫比烏斯環出現在了很多影視作品和動漫中，比如在日本漫畫《哆啦A夢》中，哆啦A夢有個道具的外觀就是莫比烏斯帶；在故事中，只要將這個環套在門把上，則外面的人進來之後，看到的依然是外面。

數學無止境，也無邊界，只要你想，生活中處處皆數學，願大家可以爭當數學小能手，多發現一些好玩兒的數學現象一起探討奧！！！