初三上學期 圓的切線問題 中考題型之一

一、第一部分 考綱體系

第一大類：有公共點的情況

1、已知垂直、平行關係，間接證明垂直

難度梯度：

級別一：雲南20年卷 、寧夏20年卷

級別二：廣東19年卷、模擬題25卷

2、已知三角形垂直，證另一三角形全等（間接證明垂直）

難度梯度：

級別一：成都20年卷

級別二：模擬題27卷

級別三：福建20年卷

3、直角的等量代換（間接證明垂直）

難度梯度：

級別一：廣西20年卷

級別二：常德20年卷

4、勾股定理（間接證明垂直）

難度梯度：

級別一：廣東18年卷、模擬題37卷

第二大類：無公共點的情況

1、已知三角形垂直，證另一三角形全等（證半徑相等）

難度梯度：

級別一：廣東20年卷、營口20年卷

級別二：廣東16年卷

體系說明：

1、本體系是建立在一般性目標要求基礎上的題庫整理，同學們可根據自己的實際情況進行擴大或縮減題庫的範圍。

2、和常規建立體系的方法不同，本體系立足於實際做題經驗。因此，沒有多餘的框架，都是實戰做題所得。

3、在使用本體系的過程中，需學會層層遞進，不僅注重平行式題與題之間的關係體會，更要總結出同一型別遞進式題的難度是如何由淺入深而變化的。

4、透過建立體系，明確在該題型下，自己不會的題還有哪些，哪種難度的題會了，哪種難度的題還不會，自己的水平到了哪種程度。

第二部分 基礎知識的補充與引入

1、切線的判定定理：經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。（透過切線的判定定理我們知道滿足切線的條件有兩個，一是切線與半徑要垂直，二是證明切線所垂直的線段是半徑）

2、證明有公共點的切線，口訣是“見半徑，證垂直”或“連半徑，證垂直”。證明無公共點的口訣是“作垂直，證相等”。

提出問題：怎麼去判斷直線與圓有無明確公共點？

例題參照： 無公共點例題

廣東20年卷

營口20年卷

廣東16年卷

結論： 透過無公共點和有公共點的例題對比分析，對於無公共點的例題，往往在題目題幹中都不涉及具體點的描述，或者具體點的字母出現。

第三部分 例題分析

型別一：已知垂直、平行關係，間接證明垂直。

例1、（2020雲南）

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD⊥CE，垂足為D，AC平分∠DAB。

（1）求證：CE是⊙O的切線。

證明：

連線OC。

∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB

∵OA、OC是⊙O的半徑，∴OA=OC

∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA

∴AD∥CO（

內錯角相等，兩直線平行

）

∴∠ADC=∠OCE

∵AD⊥CD

∴∠ADC=90°

∴∠OCE=90°

∴OC⊥CE（

垂直於一條直線，那麼同時垂直於與其平行的直線

）

∵OC是⊙O的半徑，

∴CE是⊙O的切線。（證明切線的兩個條件：①是半徑②垂直關係）

例2、（2020寧夏）

如圖，在△ABC中，∠B=90°，點D為AC上的一點，以CD為直徑的⊙O交AB於點E，連線CE，且CE平分∠ACB。

（1）求證：AE是⊙的切線。

證明：

連線OE。

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE

又∵OE=OC，∴∠ACE=∠OEC，

∴∠BCE=∠OEC，

∴OE∥BC

（

內錯角相等，兩直線平行

）

∴∠AEO=∠B

又∵∠B=90°，

∴∠AEO=90°

∴OE⊥AE

（

垂直於一條直線，那麼同時垂直於與其平行的直線

）

又∵OE是⊙O的半徑，

∴AE是⊙O的切線。（證明切線的兩個條件：①是半徑②垂直關係）