切比雪夫不等式與變異係數——投資分析中兩個重要的機率論知識

離散係數怎麼算

俄羅斯數學家切比雪夫在用標準差來度量離差的情況下，提出並證明了以下不等式。

切比雪夫不等式

：對有限方差的任何變數，算數均值的k個標準差內，觀測值的數量比例最少是1-1/k^2。其中k大於1。

例如當k=1。25，根據不等式，位於正負1。25個標準差內的觀測值佔總體觀測值的比例不低於36%。最常用的是，圍繞均值的兩個標準差區間內至少包含75%的觀測值。三個標準差區間內至少包含89%的觀測值。以上並不用考慮觀測值是如何分佈的。

切比雪夫不等式重要性來自於他的普適性，不等式不管分佈形狀如何，不管是對樣本還是總體，不管是連續還是離散都成立。當然，如果我們知道分佈的具體情況，例如是正態分佈，那麼得到的區間可能會更精確。

我們注意到標準方差相比方差更容易解釋，因為標準方差使用與觀測值相同的測量單位。在不同資料集之間解釋相對變異程度時，有時候我們可能很難解釋標準差意味著什麼，這是因為資料集之間均值可能有很大的不同，也有可能資料集之間的測量單位不同。在這部分，我們引入一種相對偏離程度的測量方法，變異係數，這種方法在以上問題中會發揮很大作用。相對偏離程度是相對一個參考值或基準的偏離程度值。

我們可以設計一個例子，第一個樣本全部是小公司的年生產規模，分別是50萬、75萬、65萬、90萬。第二個樣本全部是大公司的年生產規模，分別是800萬、825萬、815萬、840萬。我們可以計算，這兩個樣本的標準方差都是16。8萬。在第一個樣本中最大觀測值比最小觀測值大90%，第二個只大5%。通常以上資料署名，標準方差16。8萬表示，第一個樣本中，相對均值70萬有16。8萬的變異程度，第二樣本中，相對均值820萬有168萬的變異程度，顯然第一個樣本的風險比第二個樣本的風險更高。變異係數在描述上面兩個樣本風險大小時會很有用。

變異係數的定義：

變異係數是觀測集合的標準差於均值的比值。

當觀測值是回報率，變異係數測量每單位均值的風險（標準方差）值。變異係數的

含義在投資上還可以演變為夏普比率，夏普比率測量證券在單位方差下的風險回報溢價。