高中數學：三角函式知識點

三角函式最小正週期怎麼求

一、三角函式的概念

單位圓定義：設起點在原點的射線，與x軸正半軸形成一個角θ，並與單位圓（x2+y2=1）相交。這個交點的橫座標值和縱座標值分別等於cosθ和sinθ。

單位圓定義允許三角函式對所有正數和負數輻角都有定義，而不只是對於在 0 和 π/2弧度之間的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角，對於大於2π或小於-2π的角，可繼續繞單位圓旋轉得到。

如：角α的終邊經過點P（3，-4），則cosα=3/5。

二、三角函式的誘導公式

任意角的三角函式均可與第一象限角的三角函式相互轉化。

（奇變偶不變，符號看象限）

誘導公式可以概括為：對於kπ/2±α（k∈Z）的三角函式值，當k是偶數時，得到α的同名函式值，即函式名不改變；當k是奇數時，得到α相應的餘函式值sin→cos；cos→sin；tan→cot；cot→tan。（奇變偶不變），然後在前面加上把α看成銳角時原函式值的符號（符號看象限）。

如：sin（-2π－α）=sin（-4·π/2－α），k=-4為偶數，所以取sin；α看成銳角時，-2π－α在第四象限，sin（-2π－α）<0，符號為“－”。所以sin（-2π－α）=－sinα。

和差角公式

正弦、餘弦、正切、餘切的和差角公式：

二倍角公式

二倍角公式是利用和差角公式展開得到。

三、三角函式的影象

一個週期內的影象如下所示。

四、三角函式的值域

當x∈R時，sinx值域為［-1，1］。

對於當x∈［a，b］時，求y=Asin（

ωx

+φ）的值域問題可用換元法，令t=ωx+φ，根據x的範圍確定t的範圍，然後再求出sint的範圍，進而得到函式的值域。

如求函式y＝4cos（x＋π/6）-2，x∈［0，π/2］的值域，由x∈［0，π/2］，得x＋π/6∈［π/6，2π/3］，即cos（x＋π/6）∈［-1/2，√3/2］，所以y∈［-4，2√3-2］。

五、三角函式的單調性

sinx的單調增區間是x∈［2kπ-π/2，2kπ+π/2］，單調減區間是x∈［2kπ+π/2，2kπ+3π/2］，k∈Z。

cosx的單調增區間是x∈［2kπ-π，2kπ］，單調減區間是x∈［2kπ，2kπ+π］，k∈Z。

求y=Asin（ωx+φ）的單調增區間，可把ωx+φ看作一個整體，即ωx+φ∈［2kπ-π/2，2kπ+π/2］，k∈Z；解得x∈［（2kπ-π/2-φ）/ω，（2kπ+π/2-φ）/ω］，k∈Z。

如f（x）=5sin（2x+π/4）的單調增區間為2x+π/4∈［2kπ-π/2，2kπ+π/2］，k∈Z。則2x∈［2kπ-3π/4，2kπ+π/4］，k∈Z。即x∈［kπ-3π/8，kπ+π/8］，k∈Z。

六、三角函式的週期性

三角函式都有周期，最小正週期用T表示，nT（n為整數）也是該三角函式的週期。

sinx和cosx的最小正週期T=2π；tanx和cotx的最小正週期 T=π。

y=Asin（ωx+B）+C或y=Acos（ωx+B）+C，其中A，ω，B，C為常數。週期只與x的係數ω有關，最小正週期T=2π/ω。

七、三角函式的對稱性

正弦、餘弦函式的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。

正弦、餘弦函式影象的對稱軸是過函式圖象的最高（低）點且垂直於x軸的直線；對稱中心是圖象與x軸的交點。

如：函式y=sinx影象關於直線x=kπ+π/2對稱，關於點（kπ，0）中心對稱。

八、三角函式圖形變換

1。平移變換

函式影象y=f（x）按向量（a，b）平移，得到的新影象按向量（-a，-b）平移可變回原影象，並滿足原函式的對應法則，故新函式為：y-b=f（x-a）。即圖形平移可視為函式按向量作減法（即“左加右減，上加下減”）。

如：將函式y=sinx影象往左平移5個單位，再往上平移3個單位後的函式為y-3=sin（x-（-5）），整理後：y=sin（x+5）+3。

2、放縮變換

對函式y=f（x）影象x變化a倍、y變化b倍，得到的新影象x變化1/a倍、y變化1/b倍可變回原影象，並滿足原函式的對應法則，新函式為：y/b=f（x/a）。

如：將函式y=sinx影象橫座標縮小5倍，得到函式y=sin5x，再將縱座標放大3倍得到函式y/3=sin5x，整理後得y=3sin5x。

注意：平移變換和放縮變換均只對x與y進行變換。

如：由y=sinx得到y=5sin（2x+4）。

法1：先平移後放縮

先向左平移4個單位，然後橫座標變為原來的1/2，最後縱座標伸長為原來5倍。

法2：先放縮後平移

先橫座標變為原來的1/2，然後向左平移2個單位（只對x變換，而不是2x），最後縱座標伸長為原來5倍。