九年級數學，二次函式中利用鉛錘法，求三角形面積最值問題

在前一篇文章中，我們主要介紹了二次函式與將軍飲馬模型的結合，利用將軍飲馬模型可以求解線段和差最值。有些題目在求解三角形周長最值時，除了會與將軍飲馬模型結合外，還可以與相似三角形相結合，表示出三角形的周長，然後利用二次函式的性質求最值。本篇文章，主要介紹二次函式中三角形面積最值問題，所選擇的方法為：鉛錘法。

對於一般三角形而言，我們一般選擇割補法，鉛錘法也是割補法的體現。如圖，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高（h）”。我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S△ABC=1/2ah，即三角形面積等於水平寬與鉛垂高乘積的一半。

在具體的二次函式題目中，一般我們要明確A，B，C，D（過點A作平行線交BC於點D）的座標，可以是具體的座標，也可以是用引數表示的點座標。那麼水平寬應該等於點B與點C橫座標的差值，鉛錘高等於點A與點D縱座標的差值。然後再利用面積表示式求出三角形的面積，接著求最值，就是對二次函式最值的求解。

因此，還需要掌握求二次函式最值的方法。

二次函式

y

=

ax

2

+

bx

+

c

（

a

≠0）

的最值由

a

及自變數的取值範圍決定

。

當自變數

x

為全體實數時，二次函式

y

=

ax

2

+

bx

+

c

（

a

≠0）

的最值是多少？在對稱軸處取到最值，可以利用配方法將其配成頂點式得到最值；可以利用公式法直接求出二次函式的最值；可以先求出二次函式的對稱軸，然後代入解析式求最值。

當自變數的範圍有限制時，二次函式

y

=

ax

2

+

bx

+

c

（

a

≠0）

的最值可以根據以下步驟來確定：（1）

配方，求二次函式的頂點座標及對稱軸

；（2）

畫出函式圖象，標明對稱軸，並在橫座標上標明

x

的取值範圍

；（3）

判斷，判斷

x

的取值範圍與對稱軸的位置關係

，

根據二次函式的性質，確定當

x

取何值時函式有最大或最小值

。

然後根據

x

的值，求出函式的最值。

在求鉛錘高時，一般利用設點法表示出點的座標，一般需要求出二次函式和直線解析式。