【深度好文】關於運動的悖論，你知道哪些？看完這篇文章你就明白了

1可以作為除數嗎

人們通常所說的悖論，是指那些推理過程看起來沒有問題，但結果卻違背客觀實際的問題。而在數學中，悖論是一個與數學發展有著千絲萬縷聯絡的重要問題。公元前五世紀，古希臘埃利亞學派哲學家

芝諾

提出了一些悖論。

他曾在數學領域提出了一些違背常識的悖論，其中最為著名的是4 個關於運動的悖論。而今天所講述的就是他的其中

一個關於運動的悖論。

芝諾烏龜跑贏了人

阿基里斯悖論：是指阿基里斯（古希臘神話中擅長跑步的人）永遠都追不上他前方爬的較慢的烏龜。這個問題

一看便是不切實際的，

一個擅長跑步，一個是速度極慢的烏龜，人怎麼會跑不贏呢？

這是因為當阿基里斯要追上烏龜時，就首先要跑到未起跑時烏龜所在的位置，而當他跑到烏龜的起始位置時，不論阿基里斯的速度有多麼快，烏龜在這段時間又向前跑了一段路程，如此迴圈下去，

阿基里斯與烏龜的距離越來越近。

但是卻

永遠無法追上烏龜

。再詳細的解釋就是，假設阿基里斯以每小時1公里的速度跑步，烏龜以每小時0。1公里的速度跑，烏龜在阿基里斯前方1公里處，阿基里斯想要追上烏龜，就先要跑完兩者之間的1公里。

但是如果阿基里斯跑完這相差的1公里時，烏龜卻並不會原地不動，而是已在原來的 1 公里處向前爬行了0。1公里，阿基里斯就要再追趕烏龜到前方的0，1公里處，但烏龜還會再向前爬0。01公里。如此迴圈往復，以此類推，以至無窮，阿基里斯

永遠與烏龜相差0.000…1公里

。

“芝諾時”的延伸

上述就是芝諾提出的悖論，他提出了名為“芝諾時”的度量時間。這種時間是一種迴圈重複的所需的時間，那麼按照

"芝諾時"

來講，阿基里斯永遠追不上烏龜。這個問題的關鍵就在於“芝諾時”，它所包含的時間在迴圈中越來越少。

但這些越來越少的無窮個時間加起來是有限的，並不是無窮。這一問題還可以延伸為有限與無窮之間的問題，他們是否可以相互轉化，而互相轉化的條件是什麼？比如相同的問題：

1 和0.9的迴圈是否相等。

在阿基里斯悖論中，阿基里斯對烏龜的一次次追趕，逐漸將距離縮短，縮短至0。000…1公里，而其所花的時間也隨之越來越短，最後變成了無窮小量。這些問題

衍生出無窮小量與0的關係的問題。

如果無窮小量與數值0是等同的，則認為無窮小量就是 0，但是如果認為無窮小量不是 0，而是與0之間存在

一個極小的不可度量的數，

則阿基里斯與烏龜的比賽中，確實是無法追上烏龜的。

“1”的位置可以被0。999的無限迴圈替代嗎？

就是這樣一個看似無聊而又有點小兒科的問題，它曾被評為

"最受歡迎的運動"。

記得數與數怎麼比大小嗎？我們先比整數部分，如果整數部分不相等，那麼無論小數點後有多少位都不影響他們之間的大小變化。

0。999的無限迴圈從第一輪的比較開始就

註定會敗給1

。但是，眾多數學家卻都認可0。999的無限迴圈等於1是個數學事實。有一個眾所周知的證明方法，=0。333…，即等於0。333的無限迴圈，而0。999的無限迴圈等於0。333的無限迴圈乘以3。

那麼就是說，乘以3等於0。999的無限迴圈，而乘以3等於1，所以0。999的無限迴圈等於1 ，是可以被替代的。不過，仔細看一看，這好像只是

玩了一個小把戲

，真的能夠完全說服眾人0。999的無限迴圈等於1嗎？

實際上，這個問題與芝諾烏龜十分相似，上面不過是文字遊戲，要想真正論述0。999的無限迴圈等於1 這個問題，必須使用

實數的構造和功能化

。

無窮小量引爆“第二次數學危機”

很多人會想，在0。999的無限迴圈與1之間一定存在著一個很小的0。000…1，所以他們不可能相等。存在這樣一個數，我們把它叫做無窮小量，可就是這個東西引爆了

"第二次數學危機"。

我們都知道17世紀，牛頓和萊布尼茨幾乎同時發明了一種數學工具——微積分，但當時的它存在著一個

嚴重的漏洞

，他們引進了一個無限接近於0的數，無窮小量。而在具體的微積分計算中，將無窮小量作為除數是經常並慣用的方法。

但0是不能夠被當做除數的。於是，數學體系再一次遭到了顛覆性的挑戰，也開始了

"第二次數學危機"。

直到19世紀柯西等一眾數學家，用極限的思想重新定義了微積分，將無窮小量徹底“殺掉”，才平息了這場危機。

就是這套不存在無窮小量的體系，被稱作標準實分析體系，也就是大眾一直學習的數學框架，所以0。999的迴圈與1之間不存在這樣一個

無窮小量

，找不到任何一個數可以插在它們之間，於是，被證明二者是嚴格相等的。

不過，如果使用不同的數學框架呢？德國數學家亞伯拉罕魯濱遜，提出了一種名叫“非標準實分析”的框架，他對實數進行了補充，無窮小量得以

"重出江湖"。

根號二帶來了

"第一次數學危機"，

無窮小帶來了“第二次數學危機”。而每一次危機之後，我們對數的認知都在不斷地被擴充，這或許就是

數學的趣味

所在。

悖論推動了數學的發展演化

數學歷來被視為嚴格又精準的學科。縱觀數學發展史，其發展從來不是一路順遂的，它的體系不是完全穩固的，而

常常在發展中出現悖論。

而悖論在數學理論中的發展是值得任何人去重視的一件事。

因為它直接導致了對於相應理論的懷疑，而產生的無限懷疑很有可能毀滅數學的發展史。許多數學家為消除這些懷疑，為每一次

數學危機

作了很多貢獻與努力，這些努力促進了關於數學新問題的研究及數學本身的發展。

在每一次解決出現的數學悖論時，這都是一個對數學侷限性的重新認識，而解決數學悖論的過程則為數學的發展創造了

不可估量的價值。