《幾何原本》為何魅力不減？

歐幾里得著的《幾何原本》，被譽為史上最成功的教科書，即使時至今日依然光芒四射，魅力不減。

《幾何原本》

的獨到之處在於

只用

了

5

條公設或

公理，

外加

23

個定義，

就推證出

467

個命題

，

構成一套十分完善的公理化體系；它不但

邏輯嚴謹，條理清晰

，

還簡單易懂，令人驚歎。

以致於我國

明萬曆年間的徐光啟將該書翻譯介紹到中國來的時候，曾下過

“四不必”的評價——不必疑、不必揣、不必試、不必改。楊振寧

則

曾把《幾何原本》的書名譯為《初探》

，

言下之意是還有很大的發揮空間，並且在理論上可以無限發揮，這是它的魅力所在。

果真如此嗎？讓我們先來看一下

《幾何原本》

裡的

5

條

公

設

，

它們分別是：

1

、

任意

兩個不同的點

可以

作一條

直線

；

2

、

線段可以無限延長成一條直線；

3

、

以任意點為

圓

心及任意距離

為半徑，

可以

作一個

圓

；

4

、

所有

直角都相等

；

5

、

同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小於

兩個直角，

則

這兩條

直線經無限延長後在這一側

必定

相交。

假如

我們

將《幾何原本》比作一棟大廈，那麼

5

條

公

設或

公理就是基石，

然後在這樣的基礎之上逐步堆砌，最終使

大廈

得以落成。

這種理論架構與真正的大廈結構在本質上是一樣的。

這說明作為

基石

的

5

條

公

設或

公理

足夠穩固。而

《幾何原本》

只起了

467“

層

”，按照

楊振寧

的譯法，也僅僅是

“

初探

”

而已，理論上足以起萬丈高樓，甚至要起多高就能起多高。

但

《幾何原本》

裡的

5

條

公

設

，

前

4

條都具有不證自明的特點，讓人不容置疑，唯獨第

5

條公設比較複雜。並且在

《幾何原本》

裡，

歐幾里得

在

推證

前

28

個

命題

都沒有用到第

5

條公設，直到推證第

29

個命題時才開始用它。

是不是第

5

條公理是多餘的呢？或者說不足以穩固地支撐

《幾何原本》

這棟宏偉的幾何大廈呢？不少人都曾有過這樣那樣的疑問。

而打消疑問的最好辦法就是去證明它。但很遺憾，在逾

2000

年的時間裡都沒有人能夠證明

《幾何原本》

裡的

5

條公理。

當時間來到

1815

年，年輕的俄羅斯數學家尼古拉·羅巴切夫斯基換了一種思路，他將第

5

公設等價成：過平面上直線外一點，至少可以引兩條直線與已知直線不相交。然後與其餘

4

條公設一起，依照

歐幾里得

的推證方法，重新構建了一棟與

《幾何原本》

完全不同的幾何大廈，同樣無比穩固。從此，一種新的幾何（非

歐

幾何）宣告誕生。

不難看出，尼古拉

·羅巴切夫斯基用的是反證法，從而催生出了非

歐

幾何，這恰恰說明

楊振寧曾把《幾何原本》的書名譯

作

《初探》

的意義。

《幾何原本》

的魅力，從這裡可見一斑。

那麼，既然改造第

5

公設可以得到不同的幾何體系，就足以說明這條公設是不能被證明的。從此一切疑問頓消。

而實際上，尼古拉

·羅巴切夫斯也僅僅是開了個好頭而已，第

5

公設還可以用不同的方法進行改造。當改成“可以引最少兩條平等線”時，可以得到雙曲幾何；當改成“一條平行線也不

能 作

”時，又可以得到球面幾何。

可以說，第

5

公設是

《幾何原本》

的真正魅力所在。並且，理論上第

5

公設還可以有很多發揮，甚至無限發揮；從這個意義上說——

歐幾里得《幾何原本》

的魅力是無窮無盡的。

（後來，非

歐

幾何出人意料地被應用到了愛因斯坦的廣義相對論裡，有著十分廣泛用途。由於這是另一個話題，暫且按下不表。）

作者：然好

END