平行四邊形存在性問題不會求？數學老師有妙招，1招搞定思路清晰

存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題多以壓軸題形式出現，其包涵知識覆蓋面較廣，綜合性較強，題意構思非常精巧，解題方法靈活，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年中考的“熱點”，更是 難點。存在性問題型別很多，今天這節課先研究

平行四邊形存在性問題。

型別：單動點、雙動點；

如何分類（分類討論標準的確定）；

如何作圖；

解題方法：幾何法、代數法（注意總結每種方法如何使用，在哪種題型更好用，這也是我們後續例題要為大家展現的，大家要透過整體的這些例題來感受它）

平行四邊形存在性問題一般分兩型別

第一型別：三定一動平行四邊形存在性問題

第二型別：兩定兩動平行四邊形存在性問題

第一種型別：“三個定點、一個動點”

以A，B，C三點為頂點的平行四邊形構造方法有：

①

作平行線：

如圖，連線AB，BC，AC，分別過點A，B，C作其對邊的平行線，三條直線的交點為D，E，F．則四邊形ABCD，ACBE，ABFC均為平行四邊形．

作平行線

②

倍長中線：

如圖，延長邊AC，AB，BC上的中線，使延長部分與中線相等，得到點D，E，F，連線DE，EF，FD．則四邊形ABCD，ACBE，ABFC均為平行四邊形．

倍長中線

第二種型別：“兩個定點、兩個動點”

先確定其中一個動點的位置，轉化為“三個定點、一個動點”平行四邊形存在性問題，再構造平行四邊形。

通常這類問題的解題策略有：

（1）

幾何法：

先分類，再畫出平行四邊形，然後根據平行四邊形的性質來解答．一般是線段相等或者上張圖片體現的全等等。

如圖，在平面直角座標系xOy中，拋物線y＝x＋mx＋n經過點A（3，0），B（0，﹣3），P是直線AB上的一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線於點M．

（1）分別求出直線AB和這條拋物線表示式；

（2）是否存在這樣的點P，使得以點P，M，B，O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的橫座標；若不存在，請說明理由．

解：（1）將點A，B的座標代入拋物線的表示式，得y＝x2－2x＋3．

設直線AB的表示式為y＝kx＋b，將點A，B的座標代入，得y＝x－3．

（2）存在．因為PM∥OB，所以當PM＝OB時，四邊形即為平行四邊形．

根據題意設點P的座標為（p，p－3），則點M的座標為（p，p2－2p－3）．

（2）

代數法

：先羅列四個頂點的座標，再分類討論列方程，然後解方程並檢驗．

如圖．已知平行四邊形ABCD．連線AC，BD交於點O．設頂點座標為A（xA，yA）．

B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）．

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