微積分筆記——高斯公式的物理意義

什麼是高斯

本文就對微積分中的高斯（Gauss）公式進行一點思考，方向是其是否體現了什麼物理意義。

我個人覺得，數學是物理在人類邏輯能力上的體現，也就是說，學習數學的定理、公式，必須和物理相聯絡，接了物理這個地氣，數學才能學得通透。至少對工科的學生來說。

這是我第一篇對微積分的筆記，或者說思考。看情況，如果感興趣的朋友多，再寫寫其他的思考結果。

這篇著重微積分中的Guass公式。一般的微積分教材中，對Guass公式有精確的定義、嚴格地推導過程和詳細的數理說明。但是沒有說明其物理意義。但我隱約覺得，Guass公式是反映了這個宇宙的某種規律的。數學麼，如果不反映規律才怪。

先說Guass公式

數學意義很直觀。就三維空間而論，向量場在對封閉區域表面的通量，等於其勢源在該區域的發散或匯聚程度的總量。

為了說明其和守恆的關係，和麥克斯韋方程（僅電場部分）放在一起。

麥克斯韋方程可以寫成

從麥克斯韋的電場方程來看，Gauss公式的左邊表示一個向量場（這裡是電場）對區域邊界的作用，右邊表示區域內產生該向量場的源（這裡就是電荷總量）。

Gauss公式的右邊的被積函式表示一個數量場，也就是說，如果一個數量場能有梯度，則這個梯度場（即向量場本身）必然是一個保守場，根據保守場性質，這個標量場必然符合守恆定律。

於是，我有了這麼一個猜想。

數量場守恆猜想：如果一個數量場能有梯度，且其梯度場和這個數量場本身能符合Guass公式的相互關係，則這個數量場必然守恆。

這就是Guass公式的數量守恆猜想。這僅僅是個人的一個猜想。

這是宇宙的守恆性在Guass公式上的體現。當然，宇宙的守恆性在Stokes公式和微積分統一公式上也有相應地體現。甚至在向量的內積和外積上也有。

或者說，如果你相信宇宙的守恆律，那麼必然需要定義向量的內積和外積這兩個運算，而向量透過這兩個運算，在任意維度的空間上，都將表現統一公式，具象到三維空間就是Gauss公式和Stokes公式。

甚至於，如果你堅持守恆律，將可能必然不得不放棄超距作用。

有興趣的話歡迎留言。