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數學新視野:為什麼我們的課本從來不講授有關一元三次方程的內容
由 電子通訊和數學 發表于 運動2021-06-10
簡介這個結論可以用一個重量級的武器解決:伽羅瓦理論
一元3次方程怎麼解 詳細過程
前面兩邊文章《
數學經典:詳解卡爾達諾三次方程求根公式的推導原理
》《
從高等數學的觀點出發,推匯出一元三次方程根的表示式
》詳細討論了三次方程根的判別式和推導原理,但我們初高中,大學從不會提及有關一元三次方程的內容,看完本篇你就明白了
義大利百科全書式的科學家卡爾丹諾(1501年9月24日 ~1576年9月21日)發現了一元三次方程的求根公式後,將代數學向前邁進了一步:如下是三次方程一般形式的求根公式
經過變形後另得到一種形式下的公式就是
如下面的一元三次方程的解就是4
我們換一種形式,卡爾丹諾公式在處理此類方程式時遇到了問題
毫無疑問,遇到了根號下的負數,在那個負數模糊不清的時代,卡爾丹諾在處理此類方程式感到很恐慌,因為根號下的負數到底時什麼意義,誰都不知道
但這個方程的確有三個實數解,帶入方程完全成立,而卡爾丹諾公式中卻出現了根號下的負數,這是怎麼一回事?我們該怎麼解決。卡爾丹諾公式和這三個實數解如何轉換是擺在數學家面前的問題,
我們用一元三次方程的判別式,很容易得到該方程有三個實數解,
如下是卡爾丹諾公式得出的方程解:根號下是複數
用現在數學知識,用複數的概念定義得到如下結果
這兩個複數,我們可以用距離和角度去定義,這就意味著我們能偶把複數用sin和cos寫成這個形式
真美,複數的這種寫法叫做極座標形式
找出這總形式的複數的3次方根很簡單
上式開立方根後就是,這樣就把3次方根都開出來了
上式兩個複數相加,複數的虛部分別削去後留下了一個實數,這就是其中的一個實數解,但這不是全部
目前我們只是用了卡爾達諾求根公式兩個項開3次方根後的其中一個3次方根,每一項都還有2個3次方根還沒用。
其他的3次方根在一起,能夠組成兩個以原點為中心的等邊三角形的頂點,6個三次方根總共組成了3對共軛,把這3對共軛進行加法運算,就得到了3次方程的全部3個實數解
所以我們在處理複數時,3次方根不再唯一,就像每個非0複數有兩個平方根一樣,每個非0複數都有3個3次方根,沒有特殊的區分方式可以讓他成為"僅有的3次方根"
卡爾達諾的3次方程求根公式僅能夠得到簡單的整數解,有理數解,但經過複雜的運算,任何求根公式都不能擺脫複數帶來的詭異。這個結論可以用一個重量級的武器解決:伽羅瓦理論