[天學數學] 函式的不連續可微是什麼意思？《函式》的基本原理

不連續可微嗎

上一篇講到一般的無窮級數理論。就具體運用到的表達函式而言，由兩類特殊的函式項級數是十分重要的：冪級數與三角函式。

冪級數是多項式的推廣，是無窮次的多項式，它的收斂域很特別，是以某點為中心的區間，而且在收斂區間內，和函式是無窮次可微的。

三角級數是一種特殊形式的三角函式的無窮和，用三角級數表示的函式可以是不可微的，甚至不連續，因此表達的函式範圍廣。

由於冪級數使用簡單，以此冪級數與三角級數各有所長，不可互相替代。

冪級數的收斂域與和函式

冪級數：Σan（x-x0）^n = a0 +a1（x-x0）+a2（x-x0）^2+。。。+an（x-x0）^n+。。。 ；其中an屬於R，稱為冪級數的係數

冪級數的收斂性：

1）阿貝爾第一定理：若冪級數在x1收斂，則在x屬於|x1|下，該冪級數都絕對收斂；若級數在x2發散，則對一切x>|x2|，冪級數都發散

2）收斂半徑下的定理：冪級數收斂半徑R下，（-R，R）絕對收斂，［-R，R］外都發散，在正負R處可能收斂可能發散

3）給定冪級數Σan（x-x0）^n，如果lim |（an+1）/an| = p，或lim 3√|an| = p，則收斂半徑R =1/p

冪級數和函式的分析性質：

1）阿貝爾第二定理：關於收斂與一致收斂的定理

2）連續性

3）逐項求導與逐項積分

冪級數的運算：

1）兩個冪級數相等的概念，同次冪項係數相等

2）和函式是奇函式，則不出現偶次冪的項，反之亦然

3）兩個冪級數的和與乘積

函式冪級數的展開：

1）泰勒展開

2）麥克勞林展開

3）拉格朗日型餘項

4）柯西型餘項

5）常用的幾個初等函式的冪級數展開