【備考】一道高考函式和導數題，讓你的孩子從零開始學習！| 漲姿勢

極值點導數一定為零嗎

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今天想和大家分享一道函式和導數題，題目如下：

這同樣是一道高考真題，題目不是很難，我們一起來做一下：

第一小題已知函式在某點的切線與 x 軸平行，讓我們求引數 a 的值。很簡單，直接求導，然後令導數在該點的值等於 0 ，即可解出 a 的值：

所以可以解得 a = 1。

第二小題已知 f（x） 在 x = 2 處取得極小值，讓我們求 a 的取值範圍。首先有些同學可能有些奇怪， f（x） 在 x = 2 處取得極小值，則說明 f‘（2） = 0 ，照理說這個地方就能確定 a 的值，為什麼還要我們求 a 的取值範圍。但這是高考題，應該是不會出錯的，只有可能是無論 a 怎麼取值， x = 2 都是 f’（x） 的零點，我們可以將 x = 2 ，代入 f‘（x） 發現 a 被消掉了，直接有 f’（x） = 0。

所以 x = 2 是 f‘（x） = 0 的一個固定解，可以直接將 f’（x） 因式分解（其中一個因子必為x-2），然後討論 f‘（x） 的正負性，記住一定要討論 a = 0 的情況：

a = 0 時 f（2） 是極大值，所以不滿足條件，但是一定要討論這種情況。

a 不等於 0 時，f’（x） = 0 有兩個解，透過兩個解的位置關係討論 x = 2 是否為極小值點：

這道題很簡單，透過簡單的分類討論就可以解決，接下來我們換一種思路，我們上面已經求得 x = 2 是 f‘（x） = 0 的零點，我們接著求二階導數 f’‘（x）：

此時可以直接解出 a > 1/2 ，而 a = 1/2 時，易知 x = 2 是 f（x） 的二階零點，f’（x） 恆大於等於零，所以不成立。

之前將函式凹凸性的時候講過，f‘’（x） > 0 則為凹函式，f‘’（x） < 0 則為凸函式，這裡就比較容易理解了，當 f‘（x0） = 0 時，若 f’‘（x0） > 0 ，則 f（x0） 為極小值；若 f’‘（x0） < 0 ，則 f（x0） 為極大值。若 f’‘（x0） = 0 ，則需要進一步判斷。

小結

這道題很簡單，其實高考題大部分都是這個難度，不會很難，簡單總結一下：

1。函式的極大（小）值的定義是：存在一個區間（a，b），如果有 x0 ∈ （a，b）使得所有的 x ∈ （a，b）且 x ≠ x0 時，f（x） < f（x0） （f（x） > f（x0））恆成立，則 f（x0） 為 f（x） 的極大（小）值。通俗的講就是，f（x0） 在某個小區域內是最大（小）的，f（x0）就是極大（小）值點。

記住，這個定義並沒有涉及到導數，所以如果一個函式在區間內滿足上述條件，就能判斷是極值點，無論可不可導。

2。 如果函式在某個區間（a，b）內可導，且有區間內一點x0，滿足 f’（x0） = 0 ，此時x0 可能為極值點，

也有可能不是極值點

，判斷方法如下：

如果 f‘（x） 在（a，x0）上滿足 f’（x） < 0， 在（x0，b）上滿足 f‘（x） > 0，則 f（x0）為極小值點。

如果 f’（x） 在（a，x0）上滿足 f‘（x） > 0， 在（x0，b）上滿足 f’（x） < 0，則 f（x0）為極大值點。

如果 f‘（x） 在區間（a，b）上不變號，則 f（x0） 不是極值點。

3。如果函式在區間內二階可導，且有 f’（x0） = 0， f‘’（x0） < 0， 則 f（x0） 為極大值點，若 f‘’（x0） > 0， 則 f（x0） 為極小值點，

如果 f''(x0) = 0，則 f(x0) 可能為極大值點，可能為極大值點、極小值點，也有可能不是極值點。

此時判斷極值點可以參考上兩條，也可以繼續求導，例如：如果三階導數不為 0，則 f（x0） 不是極值點，三階導數為 0 則需要進一步判斷等等。

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