數學分析1.4函式的性質練習題

若對任何正數

1、證明f（x）=x/（x^2+1）是R上的有界函式。

證：|f（x）|=|x/（x^2+1）|≤|x/（2x）|=1/2對一切x∈R都成立，

∴f（x）是R上的有界函式。

2、（1）敘述無界函式的定義；

（2）證明f（x）=1/x^2為（0，1）上的無界函式；

（3）舉出函式f的例子，使f為閉區間［0，1］上的無界函式。

解：（1）設f（x）在D上有定義。若對任意正數M，都存在x0∈D，使|f（x0）|>M。 則稱函式f（x）為D上的無界函式。

（2）證：任意給定正數M，設x0=1/根號（M+1）∈（0，1），

則有|f（x0）|=1/x0^2=M+1>M。

∴f（x）為（0，1）上的無界函式。

（3）例如

3、證明下列函式在指定區間上的單調性；

（1）y=3x-1在（-∞，+ ∞）上嚴格遞增；（2）y=sinx在［-π/2，π/2］上嚴格遞增；

（3）y=cosx在［0， π］上嚴格遞減。

證：（1）設x1，x2∈（-∞，+ ∞），且x1

y1-y2=3x1-1-（3x2-1）=3（x1-x2）<0，即y1

∴y=3x-1在（-∞，+ ∞）上嚴格遞增。

（2）設x1，x2∈［-π/2，π/2］，且x1

-π/2<（x1+x2）/2<π/2，-π/2≤（x1-x2）/2<0，，

∴cos［（x1+x2）/2］>0；sin［（x1-x2）/2］<0，

從而y1-y2=sin x1-sin x2=2 cos ［（x1+x2）/2］sin［（x1-x2）/2］<0， 即y1

∴y=sinx在［-π/2，π/2］上嚴格遞增。

（3）設x1，x2∈［0， π］，且x1

0<（x1+x2）/2<π，-π/2≤（x1-x2）/2<0，

∴sin［（x1+x2）/2］>0；sin［（x1-x2）/2］，

從而y1-y2=cos x1-cos x2= -2 sin ［（x1+x2）/2］sin［（x1-x2）/2］， 即y1>y2；

∴y=cosx在［0， π］上嚴格遞減。

4、判斷下列函式的奇偶性：

（1）f（x）=x^4/4+x2-1；（2）f（x）=x+sinx；

（3）f（x）=x^2e^（-x^2）；（4）f（x）=lg（x+根號（1+x^2））。

解：（1）f（-x）=（-x）^4/4+（-x）^2-1=x^4/4+x^2-1=f（x）。 偶函式。

（2）f（-x）= -x+sin（-x）= -x-sinx= -（x+sinx）=-f（x）。 奇函式。

（3）f（-x）= （-x）^2e^（-（-x）^2）= x^2e^（-x^2）=f（x）。 偶函式。

（4）f（-x）= lg（-x+根號（1+（-x）^2））= lg［1/（根號（1+（-x）^2）+x）］= -lg（x+根號（1+x^2））= -f（x）。 奇函式。

5、求下列函式的週期：

（1）cos2x；（2）tan3x；（3）cos（x/2）+2sin（x/3）。

解：（1）cos2x=（1+cos2x）/2。 ∵cos2x的週期為π，∴（cosx）^2的週期為π。

（2）∵tanx的週期為π，∴tan3x的週期為π/3。

（3）∵cos（x/2）的週期為4π，sin（x/3）的週期為6π，∴cos（x/2）+2sin（x/3）的週期為12π。

6、設函式f定義在［-a，a］上，證明：

（1）F（x）=f（x）+f（-x）， x∈［-a，a］為偶函式；

（2）G（x）=f（x）-f（-x） ， x∈［-a，a］為奇函式；

（3）f可表示為某個奇函式和某個偶函式之和。

證：（1）F（-x）=f（-x）+f（x）=F（x），對任意的x∈［-a，a］都成立，

∴F（x）=f（x）+f（-x）是［-a，a］上的偶函式。

（2）G（-x）=f（-x）-f（x）= -G（x），對任意的x∈［-a，a］都成立，

∴G（x）=f（x）-f（-x）是［-a，a］上的奇函式。

（3）f（x）={［f（x）+f（-x）］+［f（x）-f（-x）］}/2=［F（x）+G（x）］/2；

（1）中已證F（x）是［-a，a］上的偶函式；（2）中已證G（x）是［-a，a］上的奇函式；

∴F（x）/2是［-a，a］上的偶函式；G（x）/2是［-a，a］上的奇函式。 原命題得證。

7、設f， g為定義在D上的有界函式，滿足f（x）≤g（x）， x∈D。證明：

（1）sup f（x）≤sup g（x）； （2）inf f（x）≤inf g（x）。

證：（1）若sup f（x）>sup g（x），令ε=［sup f（x）-sup g（x）］/2>0，由上確界定義知，

存在x0∈D，使f（x0）>sup f（x）-ε=［sup f（x）+sup g（x）］/2，

又對任意的x∈D，g（x）

即f（x0）>［sup f（x）+sup g（x）］/2> g（x0），這與題設f（x）≤g（x）矛盾，

∴sup f（x）≤sup g（x）。

（2）若inf f（x）>inf g（x），令∵ε=［inf f（x）-inf g（x）］/2>0，由下確界定義知，

存在x0∈D，使g（x0）

又對任意的x∈D，f（x）>inf f（x）-ε=［inf f（x）+inf g（x）］/2，

即f（x0）>［inf f（x）+inf g（x）］/2> g（x0），這與題設f（x）≤g（x）矛盾，

∴inf f（x）≤inf g（x）。

8、設f為定義在D上的有界函式， x∈D，證明：

（1）sup［-f（x）］=-inf f（x）；（2）inf ［-f（x）］=-sup f（x）。

證：（1）令inf f（x）=ξ。 由下確界定義知，對任意x∈D，有f（x）≥ξ，即-f（x）≤-ξ；

∴-ξ是-f（x）的一個上界。

又對任意的ε>0，存在x0∈D，使f（x0）< ξ+ε，即-f（x0）>-ξ-ε；

∴sup［-f（x）］=-ξ=-inf f（x）。

（2）令sup f（x）=η。 由上確界定義知，對任意x∈D，有f（x）≤η，即-f（x）≥-η；

∴-η是-f（x）的一個下界。

又對任意的ε>0，存在x0∈D，使f（x0）>η-ε，即-f（x0）<-η+ε；

∴inf ［-f（x）］=-η=-sup f（x）。

9、證明：tanx在（-π/2，π/2）上無界，而在（-π/2，π/2）內任一閉區間［a，b］上有界。

證：對任意正數M，取x0=arctan（M+1），則x0∈（-π/2，π/2），

tan x0= tan arctan（M+1）=M+1>M，∴tanx在（-π/2，π/2）上無界。

任取［a，b］∈（-π/2，π/2），∵tanx在［a，b］上嚴格遞增，

∴tan a≤tan x≤tan b對任意x∈［a，b］都成立。

令M=max{|tan a|，|tan b|}，則對一切的x∈［a，b］，有|tan x|≤M，

∴tanx在［a，b］上有界。

10、討論狄利克雷的有界函式的有界性、單調性與週期性。

解：（1）由D（x）的定義可知，對任意x∈R，都有|D（x）|≤1，∴D（x）是有界函式。

（2）設x1為有理數，x2為無理數，無論x1>x2或x10=D（x2）；

∴D（x）沒有單調性。

（3）對任意的有理數r，

即D（x）=D（x+r）；

對任意的無理數w，

即D（x）≠D（x+w）

∴任意的有理數都是D（x）的週期；而任何無理數都不是D（x）的週期。

11、證明f（x）=x+sinx在R上嚴格遞增。

證：任取x1，x2∈（-∞，+ ∞），且x1

則f（x2）- f（x1）=（x2-x1）+（sin x2-sin x1）

=（x2-x1）+2cos［（x2+x1）/2］sin［（x2-x1）/2］≥（x2-x1）-2|sin|>0，

∴f（x）=x+sinx在R上嚴格遞增。

12、設定義在［a， + ∞）上的函式f在任何閉區間［a，b］上有界，定義［a， + ∞）上的函式：m（x）=inf f（y），M（x）=sup f（y）， a≤y≤x。 試討論m（x）與M（x）的影象，其中

（1）f（x）=cosx， x∈［0， + ∞）；（2）f（x）=x^2，x∈［-1， + ∞）。

解：由m（x）及M（x）的定義可知，對任意的a

當f（x）在［a，b］上為遞增函式時，m（x）=f（a），M（x）=f（x）；

當f（x）在［a，b］上為遞減函式時，m（x）=f（x），M（x）=f（a）。 由此可知，

（1）當x∈［0，π］時，cosx為遞減函式，∴m（x）=cosx，M（x）≡1；

∵-1≤cosx≤1，∴當x∈［π， + ∞）時，m（x）≡-1， M（x）≡1；

∴m（x）與M（x）的圖象如圖11-1。

（2）同理，當x∈［-1，0］時，m（x）=x^2；當x∈［0， + ∞）時，m（x）≡0；

當x∈［-1，1］時，M（x）≡1；當x∈［1， + ∞）時，M（x）= x^2；

∴m（x）與M（x）的圖象如圖11-2。

老黃學高數第一部分：數集與函式

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