你知道數列的極限和函式極限以及無窮大和無窮小及無窮小的比較

極限唯一性定理是什麼

大家好，我是專升本數學學霸，這次我們來討論數列的極限和函式極限以及無窮大和無窮小。那你知道數列的極限和函式極限、無窮大和無窮小以及無窮小的比較呢？沒關係，學霸來幫你來了。

一、數列的極限

講解數列的極限之前，先看看什麼是數列？

數列可以看成幾何上的分散的動點，看成自變數為正整數為n的函式：

當自變數n依次取1，2，3，4，5，……，n，一切正整數數時，函式值就排列成數列{xn}。

設{xn}為一數列，如果存在常數a，對於任意婭給定的正數ε（不論它多麼小），總存在正整數N使得當n>N時，

都成立，那麼就稱常數a是數列{xn}的極限，或者稱數列{xn}收斂於a，記為

或

收斂數列的性質：

①（極限的唯一性） 如果數列{xn}收斂，那麼它的極限唯一。

②（收斂數列的有界性）如果數列{xn}收斂，那麼收斂{xn}有界。

那麼存在整數N，當n>N時，都有xn>0或xn<0。

④如果數列{xn}收斂於a，那麼它的任一子數列也收斂，且極限也是a。

二、函式的極限

定義

① 設函式f（x）在點x0的某一去心領域內有定義，如果存在常數A，對於任意給定正數 ε（不論它多麼小），總存在正數δ，使得當x滿足不定時0<|x-x0|<δ時，對應的函式值f（x）滿足不等式。

那麼常數A就叫做函式f（x）當x→x0時的極限，記住

②設函式f（x）當|x|大於某一正數時有定義，如果存在常數A，，對於任意給定正數 δ（不論它多麼小），總存在正數X，使得當x滿足不等式|x|>X時，對應的函式值f（x）滿足不等式。

那麼常數A就叫做函式f（x）當x→∞時的極限，記住

2。性質

①（函式極限的唯一性）如果 x→x0，f（x）的極限存在，那麼這極限唯一。

②（函式極限的區域性有限性）如果 x→x0，f（x）的極限等於A，那麼存在常數M>0和δ>0，使得當0<|x-x0|<δ時，有|f（x）|<=M。

③（函式極限的區域性保號性）如果 x→x0，f（x）的極限等於A，且A>0（或A<0），那麼存在常數δ>0，使得當0<|x-x0|<δ時，有f（x）>0（或f（x）<0）。

④（函式極限與數列極限的關係）如果 x→x0，f（x）的極限存在，{xn}為函式f（x）的定義域內任一收斂於x0的數列，且滿足xn≠x0（n∈N+），那麼響應的函式值數列{f（xn）}必收斂，且 （n→∞， f（xn）的極限） = （x→x0，f（x）的極限）

學霸來給你支招來了。

求極限時，當 x 趨近於某個數值x0時，先看看f（x）的定義域，如果x0在該定義域有意義，直接代入計算。如果無意義，再看看f（x）式子，式子f（x）是分式，自變數在分母，極限是無窮大。如果是 x趨近於負數，式子是根式，極限不存在。

求極限時，當X趨近於無窮大∞時，就直接看式子f（x），如果式子f（x）是分式，自變數在分母，極限為0；如果式子是整式和根式，極限直接無窮大∞。

求極限時，如果分子與分母都有自變數，下面就要講到用無窮大和無窮小的求法。

三、無窮大和無窮小

無窮大

定義：設函式f（x）在x0的某一去心領域內有定義（或|x|大於某一正數是有定義）。如果對於任意給定的正數 M（不論它多麼大），總存在正數δ（或正數X），只要x適合不等式 0<|x-x0|<δ（或|x|>X），對應的函式值f（x）總滿足不等式：

|f（x）|>M ，

那麼稱函式f（x）是當x→x0（或 x→∞）時的無窮大。記住：

定理：在自變數的同一變化過程中，如果f（x）為無窮大，那麼 1 / f（x）為無窮小；反之，如果f（x）為無窮小，且f（x）≠0，那麼1/f（x）為無窮大。

2。無窮小

定義：如果函式f（x）當x→x0（或x→∞）時極限為零，那麼稱函式f（x）為當→x0（或x→∞）時的無窮小。

定理：在指不定的同一變化過程x→x0（或x→∞）中，函式f（x）具有極限A充分必要條件是f（x）=A+α，其中α是無窮小。

四、無窮小的比較

無窮小的定義

①如果lim β/α=0，那麼說 β是 比 α高階無窮小 ，記住 β=o（α）；

②如果lim β/α=∞，那麼說 β是 比 α底階無窮小；

③如果lim β/α=C≠0，那麼說 β是 與 α同階無窮小；

④如果lim β/（α 的 k次冪）=C≠0，那麼說 β是 與 α的 k 階無窮小；

⑤如果lim β/α=1，那麼說 β 與 α等階無窮小，記住α~β。

無窮小的定理

① β與alp是等價無窮小的充分必要條件為

β=α+o（α）

②

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