【知識點】什麼是數學史？20世紀60年代，數學領域又產生了一支

什麼是數學史

20世紀60年代，隨著現代科學技術的發展，數學領域又產生出了一支新秀——模糊數學。模糊數學無論在研究物件還是在思想方法上，都與已有的數學有著質的不同，它的產生不僅極大地拓展了數學的研究範圍，而且帶來了數學思想方法的一次重大突破。

（一）模糊數學產生的背景

模糊數學是在特定的歷史背景中產生的，它是數學適應現代科學技術需要的產物。

首先，現實世界中存在著大量模糊的量，對這類量的描述和研究需要一種新的數學工具。我們知道，現實世界中的量是多種多樣的，如果按著界限是否分明，可把這無限多樣的量分為兩類：一類是明晰的，另一類是模糊的。

實踐表明，在自然界、生產、科學技術以及生活中，模糊的量是普遍存在的。如“高壓”、“低溫”、“偏上”、“適度”、“附近”、“美麗”、“溫和”、“老年”、“健康”等等這些概念作為現實世界事物和現象的狀態反映，在量上是沒有明晰界限的。

模糊數學產生之前的數學，只能精確地描述和研究那些界限分明的量，即明晰的量，把它們用於描述和研究模糊的量就失效了。對那些模糊的量，只有用一種“模糊”的方法去描述和處理，才能使結果符合實際。因此，隨著社會實踐的深化和科學技術的發展，對“模糊”數學方法進行研究也就成為十分必要的了。

其次，電子計算機的發展為模糊數學的誕生準備了搖籃。自20世紀40年代電子計算機問世以來，電子計算機在生產、科學技術各領域的應用日益廣泛。電子計算機發展的一個重要方向是模擬人腦的思維，以便能處理生物系統、航天系統以及各種複雜的社會系統。而人腦本身就是一種極其複雜的系統。人腦中的思維活動之所以具有高度的靈活性，能夠應付複雜多變的環境，一個重要的原因是邏輯思維和非邏輯思維同時在起作用。

一般說來，邏輯思維活動可用明晰數學來描述和刻畫，而非邏輯思維活動卻具有很大的模糊性，無法用明晰數學來描述和刻畫。因此，以二值邏輯為理論基礎的電子計算機，也就無法真實地模擬人腦的思維活動，自然也就不具備人腦處理複雜問題的能力。這對電子計算機特別是人工智慧的發展，無疑是一個極大的障礙。為了把人的自然語言演算法化並編入程式，讓電子計算機能夠描述和處理那些具有模糊量的事物，從而完成更為複雜的工作，就必須建立起一種能夠描述和處理模糊的量及其關係的數學理論，這就是模糊數學產生的直接背景。

模糊數學的創立者是美國加利福尼亞大學的札德教授。為了改進和提高電子計算機，他認真研究了傳統數學的基礎——集合論。他認為，要想從根本上解決電子計算機發展與數學工具侷限性的矛盾，必須建立起一種新的集合理論。1966年，他發表了題為《模糊集合》的論文，由此開拓出了模糊數學這一新的數學領域。

（二）模糊數學的理論基礎

明晰數學的理論基礎是普通集合論，模糊數學的理論基礎則是模糊集合論。札德也正是從模糊集合論著手，建立起模糊數學的。

模糊集合論與普通集合論的根本區別，在於兩者賴以存在的基本理論——集合的意義不同。普通集合論的基本概念是普通集合，即明晰集合。對於這種集合，一個事物與它有著明確的隸屬關係，要麼屬於這個集合，要麼不屬於這個集合，兩者必居其一，不能模稜兩可，如果用函式關係式表示，可寫成

這裡的A（u）稱為集合A的特徵函式。特徵函式的邏輯基礎是二值邏輯，它是對事物“非此即彼”狀態的定量描述，但不能用於刻畫某些事物在中介過渡時多呈現出的“亦此亦彼”性。例如，取A為老年人集合，u 為一個年齡為50歲的人，我們拿不出什麼令人信服的理由來確定A（u）的值是1還是0。這正是普通集合論的侷限之所在。

與普通集合不同，模糊集合的邏輯基礎是多值邏輯。對於這種集合，一個事物與它沒有“屬於”或“不屬於”這種絕對分明的隸屬關係，因而也就不能用特徵函式A（u）來描述。那麼，怎樣才能定量地描述模糊集合的性質和特徵呢？模糊集合論的創立者札德給出了隸屬函式的概念，用以代替普通集合論中的特徵函式概念。隸屬函式的實質，是將特徵函式由二值｛0，1｝推廣到［0，1］閉區間上的任意值。通常把隸屬函式表示為μ（u），它滿足

0≤μ（u）≤1（或記作μ（u）∈［0，1］）。

有了隸屬函式概念，就可給模糊集合下一個準確的定義了。札德在1965年的論文中給出瞭如下的定義：

所謂給定了論域U上的一個模糊子集A，是指：對於任意u∈U，都指定了一個數μA （u）∈［0，1］，叫做u對A的隸屬度，函式μA 叫做A的隸屬函式。

隸屬函式的選取是一個較為複雜的問題，目前還沒有一個固定和通用的模式，它依問題的不同可以有不同的表達形式。在許多情況下，它是憑藉經驗或統計分析確定的。

例如，某小組有五名同學，記作u1 ，u2 ，u3 ，u4 ，u5 ，取論域U＝｛u1 ，u2 ，u3 ，u4 ，u5 ｝，現在取A為由“性格穩重”的同學組成的集合，顯然這是一個模糊集合。為確定每個同學隸屬於A的程度，我們分別給每個同學的性格穩重程度打分，按百分制給分，再除以100，這裡實際上就是在求隸屬函式μA （u）。如果打分的結果是

u1 得85分

u2 得75分

u3 得98分

u4 得30分

u5 得60分

那麼隸屬函式的值應是

μA （u1 ）＝0。85

μA （u2 ）＝0。75

μA （u3 ）＝0。98

μA （u4 ）＝0。30

μA （u5 ）＝0。60

可表示為

A＝（0。85，0。75，0。98，0。30，0。60），

還可表示為

或A＝｛（0。85，u1 ），（0。75，u2 ），（0。98，u3 ），（0。30，u4），（0。60，u5 ）｝。

普通集合與模糊集合有著內在的聯絡，這可由特徵函式A（μ）和隸屬函式μA （u）的關係來分析。事實上，當隸屬函式μA （u）只取［0，1］閉區間的兩個端點值｛0，1｝時，隸屬函式μA （u）也就退化為特徵函式A（u），從而模糊子集A也就轉化為普通集合A。這就表明，普通集合是模糊集合的特殊情況，模糊集合是普通集合的推廣，它們既相互區別，又相互聯結，而且在一定條件下相互轉化。正因為有此內在的聯絡，決定了模糊數學可以廣泛地使用明晰數學的方法，從明晰數學到模糊數學存在著由此達彼的橋樑。

模糊數學作為一門新興的數學學科，雖然它的歷史很短，但由於它是在現代科學技術迫切需要下應運而生的，因而對於它的研究，無論是基礎理論還是實際應用，都得到了迅速的發展。

就其基礎理論而言，模糊數學研究的課題已涉及到廣泛的範圍，如模糊數、模糊關係、模糊矩陣、模糊圖、模糊對映和變換、模糊機率、模糊判斷、模糊規劃、模糊邏輯、模糊識別和模糊控制等。

在應用方面，模糊數學的思想與方法正在廣泛滲透到科學和技術的各個領域，如物理學、化學、生物學、醫學、心理學、氣象學、地質學、經濟學、語言學、系統論、資訊理論、控制論和人工智慧等，同時在工農業生產的許多部門已取得明顯的社會效益。