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把握度量的本質，積累度量活動的經驗

由數學嚴老師發表于藝術2021-10-02

簡介度量內容的教學策略也是相通的，即教師備課時要把握度量的本質，設計教學活動時應該注意：讓學生經歷單位的產生過程、單位的累加過程，形成單位的觀念並以此為標準學會估計，培養數感，積累度量活動的經驗

度量法是什麼意思

度量的內容結構是相同的：

核心要素兩個

（度量單位、單位的個數即度量值）

、基本性質三條

（運動不變性、合同性、有限可加性）

。

度量內容的教學策略也是相通的，即教師備課時要把握度量的本質，設計教學活動時應該注意：

讓學生經歷單位的產生過程、單位的累加過程，形成單位的觀念並以此為標準學會估計，培養數感，積累度量活動的經驗。

因此，不管是備課還是評課都應該從這幾個方面進行思考。

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本文選自︱《小學教學（數學版）》2013.05

作者︱劉加霞

度量的本質是“比”

從概念上看，度量是用一個數值來表示物體的某一屬性。從行為上看，度量就是將一個待測量和一個標準量（單位）進行比較，“標準”的個數就是度量的結果。

在小學階段，獲得度量值的方法主要有三種。

一是度量法，即先確定度量單位，然後數出度量物件中包含多少個度量單位，度量單位的個數就是度量值的大小。

二是將不規則物體轉化為規則物體來度量。例如測量不規則物體的體積，可以將不規則物體放進水中，用水的體積（放在規則的容器中）替代不規則物體的體積。在以上兩種方法中一定要保證替代前後兩個量的“守恆”，即一定要保證是“等量替換”。

三是用公式計算。數單位（標準）的個數是度量活動中的基礎活動，貫穿度量內容教學的始終。

建立度量概念首先要明確度量的物件。小學階段的度量主要有一維空間的度量（長度、周長），其中“線段”是最基本的度量物件；二維空間的度量（面積），平面是基本度量物件；三維空間的度量（體積、容積），長方體是基本度量物件。

還有，角的度量以及其他可度量的屬性，例如質量、時間等；速度、密度等量不是可直接度量的量，是由兩個可直接度量的量的比值來刻畫的，我們可以稱之為“匯出的量”或者間接測量的量。

其實，一句話，度量的本質是“比”。

我們還強調，度量教學的關鍵是：

“數”出度量單位的個數，建立“一個長度單位的觀念”，培養學生的量感，具體表現是根據具體物品選擇合適的單位以及估計長度。

所有這些量中，長度是最容易感知和學習的，小學是分階段學習長度的：

先學習釐米與米，其次是毫米與分米，最後學習千米，可以說學習這些內容的方式與策略是相通的。

毫米是小學階段學習的長度的最小度量單位，由於 1 毫米“太小”，學生應該如何 1 毫米 1 毫米地數出單位的個數？如何理解“1 釐米＝10 毫米”的合理性與價值？學生在學習這些內容時會出現哪些疑難與困惑？教師如何針對學生學習的疑難困惑而設計有價值、有實效性的學習活動？

趙老師在執教“毫米的認識”時對這些問題都有思考。

從“釐米尺”到“毫米尺”：

單位越小度量結果越準

要度量任何一個量都要有單位，單位經歷了從非標單位到國際標準單位的發展歷程。單位不唯一，都有很多，例如任何一個量的國際標準單位都是一套“單位系統”（相鄰單位之間有相對固定的數量關係），為了度量得更精確，需要產生小單位。

長度也不例外，學習了釐米、米之後，再學習毫米、分米，所以認識毫米時應該有學習的需求：

為什麼學習毫米？毫米是怎麼產生的？

趙老師執教的“毫米的認識”一課就讓學生經歷了要想更精確地度量“附小幣”的長度就必須有更小的單位這樣的情境。因此，上課時教師給出的是 “釐米尺” ，最小單位是釐米，而不是學生常見的直尺，最小單位已經是毫米。

看似簡單的情境其實不簡單，從 “釐米尺” 到 “毫米尺” ，讓學生親身經歷了 “產生更小單位” 的過程。教學中如果用現成的直尺來度量 “附小幣” ，學生則沒有思維的投入而只有測量的技能。

讓學生經歷把“大單位”1 釐米平均分成若干份，其中 1 份作為新的單位的過程具有重要意義。例如，把 1 釐米平均分 10 份還是 2 份？

我在聽其他教師執教這節課時，有的學生是把 1 釐米平均分成 2 份，其中 1 份作為單位進一步測量。到底分成 2 份還是 10 份？在教學中就產生了衝突，不同的學生有不同的看法（平均分成 2 份更樸素，但平均分成 10 份所得到的新單位更小，度量的結果更準確，而且與通用的十進位制計數法相匹配）。

讓學生經歷“平均分成多少份”的討論過程，學生就會有質疑、衝突，進而有思維的投入。

在趙老師的教學中，學生基於自己的學習經驗和生活經驗，很自然地都把 1 釐米平均分成10 份，每一小份就是“更小的單位”。分成多少份學生之間沒有衝突，但把 1 釐米長的線段平均分 10 份，在 1 釐米長線段的“中間”到底畫幾條刻度線（“小豎道”）則出現了衝突：

師：

嗯！只要把 1 釐米平均分成 10 份，就能找到比釐米更小的長度單位——毫米。要想把 0 到 1 這一小段平均分成 10 份，中間應該——

生：

（脫口而出）畫 10 道！

生：

不對，應該畫 9 道！

（其他學生有的同意“10 道”，有的同意“9 道”）

師：

到底應該畫幾道呢？

（“9 道”，“10 道”的聲音依然不絕於耳）

這也是一個很有趣、很有價值的衝突，不就是“植樹模型”嗎？在這樣的衝突、質疑、觀察、操作中不也為以後學習“植樹問題”積累了一些經驗嗎？有過這樣的衝突，我們相信學習植樹問題時會有學生有種“噢，好像見過似的”恍然大悟的感覺。

如果不經歷 1 毫米的產生過程，而僅僅知道 1 釐米等於 10 毫米這樣一個事實，就不會有這個“意外收穫”。如果不讓學生經歷“過程”怎麼為學生積累數學活動經驗呢？要知道，教師的講解和告知很難為學生積累數學活動經驗。

“1 毫米”指“哪兒”：

是螞蟻還是螞蟻的“腰”

感知 1 毫米到底有多長，可以設計很多操作感知活動，一般都是：

師：

嗯，有的同學知道了，一分硬幣的厚度就是 1 毫米。老師這裡準備了一些一分硬幣，在大家桌子上的小紙袋裡，大家來感受一下，先用手這樣捏起一分硬幣，再把它抽出來，感受一下。

生：

都快看不出有縫了。

師：

再插進去、抽出來，多感受幾次。

然後再舉出生活中的其他例子，螞蟻是學生最願意舉的例子，因為在日常生活中形容“小”的具象就是螞蟻。但籠統地說，“螞蟻”可以嗎？

我聽過幾次“毫米的認識”的教學，凡是讓學生經歷過 1 毫米 1 毫米地數、感受 1毫米有多長、1 毫米到底指哪兒的活動，在舉例說出螞蟻時學生都會有停頓、有質疑、有思考。

生：

螞蟻的長度。

（馬上有學生反對：有的螞蟻有好幾毫米長呢！該生馬上糾正說：“我說的是螞蟻中間那部分，就差不多是腰的那兒！”）

師：

大家說得非常好，尤其是有的同學提到了螞蟻，還有螞蟻的腰。螞蟻已經很小了，螞蟻的腰就更細了。（學生紛紛大笑）大家覺得 1 毫米怎麼樣？

生：

很小、很小。

師：

是的，毫米是一個很小的長度單位，其實在生活中，也經常用到毫米來作為測量的單位，比如大家用的自動鉛筆，還有字筆，筆芯的規格就是用毫米來表示的（大屏上呈現各種筆芯的規格），“毫米”我們用字母表示就是“mm”。

在教學“毫米的認識”時，真正讓學生理解“毫米”，除了要讓學生理解為什麼要產生“毫米”這個長度單位，還要讓學生知道“1 毫米”到底指哪裡，是什麼的長度。

（有學生誤以為一個“點”就是 1 毫米，沒認識到 1 毫米仍然是指“線段”的長度）這樣學生頭腦中才能有表象的支撐，逐步形成關於毫米的觀念，進而以此為標準學會估計，逐步培養學生的數感。

教學中重視 1 毫米到底指“哪兒”有意義嗎？知道“很小、很小”不就行了？其實不然，我在聽另一位教帥執教“毫米的認識”時，出現過這樣的現象：

透過課前調研，很多學生已經知道 1 釐＝10 毫米，教學中教師首先確認學生是否都知道這一結論，全班學生都認可。然後教師讓學生在自己的直尺上先找出 1 釐米在哪裡，然後再數一數，1 釐米中有幾個 1 毫米。

學生經過數數後，有幾個學生（甚至有一個學生稱之為“重大發現”）說：“老師，1 釐米不等於 10 毫米， 1 釐米＝ 9 毫米， “ 1 釐米”中間有 9 條 “小道” （刻度線），所以 1 釐米應該是 9 毫米。” 原來，學生把 “刻度線”的長度當成了 1 毫米， 1 釐米之間確實是 9 條刻度線。

有一次我給北京市的高中政治骨幹教師講述這個案例時，竟有老師說：“在尺子上，不就是1 條刻度線就是 1 毫米嗎？”“我們還真不知道 1 毫米究竟指哪裡。”“我們上小學時好像從來沒這樣‘深究’過尺子。”

確實，傳統的數學教學不強調這些重要的過程，以知道事實性結論為目標，教學中沒有數1 毫米線段的過程，學生的這些問題和困惑也不會暴露出來。

連續的量的本質：

超越感知、知覺的無限分割

顯然幫助學生澄清哪兒是“1 毫米”是有價值的：

1 毫米 1 毫米地首尾拼接起來，產生更長的線段即幾個 1 毫米就是幾毫米

（數單位的個數得到的數量就是度量值）

。

同時再小的長度單位根據需要都可以無限細分下去的，只是很難透過動手操作來實現。

但這種“無限分割”的思想決不能僅僅靠操作、靠感覺來理解，更多的是依靠推理、想象來理解，這正是數學特有的魅力所在：

（感覺、知覺）。這也正是連續的量的本質所在：

無限分割，每一份的大小趨於 0。