2020初三數學複習：圓心角、圓周角、弧與弦心距的關係會怎樣考

弧的度數等於圓心角嗎

01單元要點

圓是最美的圖形，其中有一個非常重要的特性，就是在旋轉的過程中，圓的所有性質都不變。

圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，且其繞對稱中心旋轉任意角度，圖形都不會發生變化。

在本單元新課學習階段，我們已經透過實驗、觀察等方式，發現了圓心角、弧、弦、弦心距之間關係，明確了生活中的許多事物之間是相互聯絡、相互轉化的。

本節內容的核心知識點是：在同圓或等圓中，圓心角相等、圓周角相等、弧相等、弦心距相等，已知其中任意一組量相等，就可以知道其他各組量也相等。

在本單元的中考考查中，圍繞相關定理進行綜合命題，也是考試中常見的一種方式。比如第12題，以圓周角定理為核心，融合考查了“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半”，推論：“半圓（或直徑）所對的圓周角是直角”，“90°的圓周角所對的弦是直徑”等，還考查了垂徑定理和平行四邊形的性質。

此題的解答過程，也充分利用了圓周角定理，得到∠ACD＝90°，再根據平行四邊形的性質得到CD∥OB，CD＝OB，則可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三邊的關係可對A選項進行判斷；利用OP∥CD，CD⊥AC可對C選項進行判斷；利用垂徑可判斷OP為△ACD的中位線，則CD＝2OP，原式可對B選項進行判斷；同時得到OB＝2OP，則可對D選項進行判斷。

在中考中，任何一個考題，考查的都是我們的綜合運用能力和邏輯分析能力，需要我們在學習中不斷地提升這種能力，以求得數學知識的最最佳化。

現在，請大家走進圓的世界吧！

02閱讀說明

因網頁不支援數學公式，所有試題請以圖片為準。

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03中考真題精選

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04參考答案

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05經典題目解析

一、選擇題

1。 考點圓心角、弧、弦的關係；翻折變換（摺疊問題）．

分析直接利用翻折變換的性質結合銳角三角函式關係得出∠BOD=30°，再利用弧度與圓心角的關係得出答案．

2。 考點M5：圓周角定理；M4：圓心角、弧、弦的關係．

分析根據圓周角定理求得∠AOB的度數，則∠AOB的度數一定不小於∠AMB的度數，據此即可判斷．

3。 考點MN：弧長的計算；M5：圓周角定理．

分析連線OB、OC，利用圓周角定理求得∠BOC=60°，屬於利用弧長公式l= 來計算劣弧 的長．

4。 考點M5：圓周角定理．

分析連線BD，根據直徑所對的圓周角是直角，得∠ADB=90°，根據同弧或等弧所對的圓周角相等，得∠ABD=∠ACD，從而可得到∠BAD的度數．

5。 分析連線OD，由垂徑定理得出AB⊥CD，由三角函式求出BH=3，由勾股定理得出DH= =4，設OH=x，則OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

6。 分析先根據題意畫出圖形，由於點C的位置不能確定，故應分兩種情況進行討論．

7。 分析根據圓周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°，∠ACB=90°，根據三角形內角和定理計算即可．

8。 分析根據圓周角定理可以求得∠BOD的度數，然後根據扇形面積公式即可解答本題．

9。 分析由圖可知，OA=10，OD=5．根據特殊角的三角函式值求角度即可．

10。 分析根據垂徑定理得出OE的長，進而利用勾股定理得出BC的長，再利用相似三角形的判定和性質解答即可．

11。 分析連線AC，如圖，根據圓內接四邊形的性質和圓周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，從而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然後利用勾股定理計算AE的長．

點評本題考查了圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補．圓內接四邊形的任意一個外角等於它的內對角（就是和它相鄰的內角的對角）．也考查了勾股定理．

12。 分析利用圓周角定理得到∠ACD＝90°，再根據平行四邊形的性質得到CD∥OB，CD＝OB，則可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三邊的關係可對A選項進行判斷；利用OP∥CD，CD⊥AC可對C選項進行判斷；利用垂徑可判斷OP為△ACD的中位線，則CD＝2OP，原式可對B選項進行判斷；同時得到OB＝2OP，則可對D選項進行判斷．

點評此題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理和平行四邊形的性質．

13。 分析根據圓心角與圓周角關係定理求出∠AOB的度數，進而由角的和差求得結果．

點評本題是圓的一個計算題，主要考查了在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓心角等於它所對的圓周角的2信倍．

14。 分析連線AC，根據圓內接四邊形的性質求出∠DAB，根據圓周角定理求出∠ACB、∠CAB，計算即可．

點評本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．

15。 答案B。根據題意得到四邊形ABCD共圓，利用圓內接四邊形對角互補即可求出所求角的度數．

此題考查了圓內接四邊形的性質，熟練掌握圓內接四邊形的性質是解本題的關鍵．

二、填空題

16。 分析：連結CD如圖，根據圓周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，則sinD=sinB= ，然後在Rt△ACD中利用∠D的正弦可計算出AC的長．

點評： 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查瞭解直角三角形．

17。 考點圓周角定理；等腰三角形的性質．

分析連線AD，由圓周角定理得出∠AEB=∠ADB=90°，由等腰三角形的性質得出BD=CD，由三角形中位線定理得出OD∥AC，CE=2MD=4，求出AE，再由勾股定理求出BE即可．

18。 答案32。試題分析：由∠ABC＝∠ADC＝90°，E為對角線AC的中點，可知A，B，C，D四點共圓，圓心是E，直徑AC然後根據圓周角定理由∠BAD＝58°，得到∠BED＝116°，然後根據等腰三角形的性質可求得∠EBD=32°。

考點：1、圓周角性質定理，2、等腰三角形性質

19。 分析利用垂徑定理和三角函式得出∠CDO=30°，進而得出∠DOA=60°，利用圓周角定理得出∠DFA=30°即可．

20。 分析連線 並延長交 於 ，連線 ，於是得到 ， ，解直角三角形即可得到結論．

點評本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．

21。 分析先利用鄰補角計算出∠BOC，然後根據圓周角定理得到∠CDB的度數．

點評本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半．

22。 分析連線EA，根據圓周角定理求出∠BEA，根據圓內接四邊形的性質得到∠DEA+∠C＝180°，結合圖形計算即可．

點評：本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵。

23。 分析過O作OM⊥AC於M，延長MO交⊙O於P，則此時，點P到AC距離的最大，且點P到AC距離的最大值＝PM，解直角三角形即可得到結論．

點評本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．

三、解答題

24。 分析（1）根據角平分線的定義和圓周角定理即可得到結論；

（2）連線OD，根據平角定義得到∠AEC＝55°，根據圓周角定理得到∠ACE＝90°，求得∠CAE＝35°，得到∠BOD＝2∠BAD＝70°，根據弧長公式即可得到結論．

點評本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，弧長的計算，正確的識別圖形是解題的關鍵．

25。 分析連線AC，由圓心角、弧、弦的關係得出 ＝ ，進而得出 ＝ ，根據等弧所對的圓周角相等得出∠C＝∠A，根據等角對等邊證得結論．

點評本題考查了圓心角、弧、弦的關係，圓周角定理，等腰三角形的判定等，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．

26。 分析（1）由AB＝CD知 ＝ ，即 + ＝ + ，據此可得答案；

（2）由 ＝ 知AD＝BC，結合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可證△ADE≌△CBE，從而得出答案．

點評本題主要考查圓心角、弧、弦的關係，圓心角、弧、弦三者的關係可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其餘二項皆相等．

27。 分析（1）根據角平分線的定義和圓周角定理即可得到結論；

（2）連線 ，根據平角定義得到 ，根據圓周角定理得到 ，求得 ，得到 ，根據弧長公式即可得到結論．

點評本題考查了圓周角定理，三角形的外接圓與外心，弧長的計算，正確的識別圖形是解題的關鍵．

29。 分析（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根據圓周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代換得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；

（2）設AB與CE交於點M．根據角平分線的性質得出 = ．易求∠BAD=30°，由直徑所對的圓周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE= BE，作AF⊥CE於F，BG⊥CE於G．證明△AFM∽△BGM，根據相似三角形對應邊成比例，進而求出 ．

點評本題考查了相似三角形的判定與性質，圓周角定理，銳角三角函式定義，透過作輔助線是解題的關鍵．