隨機矩陣理論，用於探索複雜系統的數學，從神經科學到量子系統

標準正態分佈圖怎麼畫

隨機矩陣理論（RMT）利用統計力學的原理來模擬多個數學領域中複雜系統的互動作用。它最初被用於模擬重原子的核，後來被用於估計大量統計樣本中的協方差，並預測著名的黎曼zeta函式零點的分佈。更現代的應用包括理論神經科學和最優控制。

什麼是隨機矩陣？

顧名思義，隨機矩陣是任意具有隨機元素的矩陣，其元素為非負實數，且行和或列和為1。如果行和為1，則稱為行隨機矩陣；如果列和為1，則稱為列隨機矩陣；如果行和和列和都為1，則稱為雙隨機矩陣。建立隨機矩陣的一個簡單方法是建立一個N × N矩陣，其中元素來自N（0，1）分佈。然而，這個矩陣會有複數和重複的特徵值。一般而已，實特徵值才會有意義，特別是如果恰好有N個特徵值。因此，我們將初始研究限制在對稱矩陣的情況下，產生N個實特徵值。這些矩陣稱為高斯正交系綜（GOE）中的樣本，因此我們稱它們為GOE矩陣。

建立一些這樣的GOE矩陣並看它們的特徵值，可以清楚地看到，當矩陣維數N增加時，特徵值的“一般”大小也會增加。繪製每個N的特徵值的平均大小將其形式化，表明特徵值的大小與根號N成比例。

隨機矩陣的特徵值是如何分佈的？

使用python生成一個大型GOE矩陣（N=5000）並繪製其特徵值的分佈產生了第一個有趣的結果。特徵值的密度形成一個半圓。

以理論物理學家尤金·維格納（Eugene Wigner）的名字命名的維格納半圓定律是隨機矩陣理論中最基本的結果，它證明了隨機矩陣的特徵值不符合我們的直覺。值得注意的是，這個半圓的邊緣並不是自然地落在正負1上。特徵值尺與根號N成正比的事實已經被用來對每個特徵值進行歸一化，即除以2倍根號N。

特徵值之間的間距是如何分佈的？

考慮一個GOE矩陣的兩個連續特徵值。它們的差值是均勻分佈，正態分佈，還是更復雜的其他分佈？重要的是，間距為零的機率是多少，這意味著實際上存在小於N個特徵值的情況？

使用相同的5000×5000矩陣，但這一次繪製連續特徵值之間的間距密度會產生類似於移位的正態分佈。

維格納的推測。注意，雖然在這個圖中看起來比半圓圖中的條形要少，但是在s=3。5後有很多條形被忽略了。

1957年，在一次關於“中子物理”的會議上，與會者被問及原子核的能級間距可能是多少。維格納從觀眾中走出來，在黑板上畫了一條類似於上面紅色那條的線。這個猜想被證明是非常準確的，這種分佈被稱為維格納猜想。作為一個函式，維格納猜想的極限可以寫成：

在量子力學的背景下，維格納猜想描述了一種叫做“水平排斥”的現象。空間約束系統中的粒子只能有離散的能量，稱為“能級”。從一般意義上說，這些能級趨向於聚集，但也相互排斥。這導致了一種情況，即大多數能級之間的距離是相似的，任何兩個重合的機率為零，任何兩個s單位的間隔的機率隨著s的增加而消失。這種分佈也可以在棲息在電線上的鳥類或停在街上的汽車上看到。

透過研究N個特徵值集合的聯合機率密度函式，可以形式化經驗分佈的直覺：

很明顯，負指數項最小化了大特徵值的機率，而乘積項在最後（稱為“排斥因子”）最小化了接近的特徵值的機率。它也使相等特徵值出現的機率為零。

上述聯合機率分佈函式的一個重要性質是，由於排斥因子，它不能因式分解。因此，不能假定特徵值是獨立的，即使GOE矩陣的元素是獨立的。由於所有特徵值都依賴於其他特徵值，因此不能使用分析自變數的常用統計工具。

這些結果能應用於更高的維度嗎？

如果上面的想法可以概括為兩個維度，那麼RMT隨機矩陣理論可以應用於更廣泛的問題。對稱矩陣的復類比是厄米特矩陣，它等於它自己的共軛轉置。為了從N（0，1）^2分佈中提取元素，a和b從N（0，0。5）分佈中提取，然後組合成a + ib的形式。所有具有這些元素的厄米特矩陣的集合稱為高斯酉系綜（GUE）。

除了一些縮放細節，GUE矩陣也遵循維格納的半圓定律和猜想。這對於研究二維複雜系統是很有用的。甚至可以更進一步，使用厄米特四元數矩陣推匯出三維的結果，但這遠遠超出了本文的範圍。

隨機矩陣的最大特徵值是如何分佈的？

隨機矩陣的最大特徵值的分佈可以簡單地集中在帶有一定高斯或均勻噪聲的維格納半圓的邊緣。然而，繪製1000個1000 × 1000矩陣的最大特徵值對於GOE和GUE都產生了一個唯一的分佈，由克雷格·特雷西和哈羅德·威多姆（Craig Tracy and Harold Widom）於1993年推出。

有趣的是，當維格納半圓分佈的邊緣出現在1時，這條邊在有限次迭代中的平均值處。這是由於計算限制。在文獻中有很好的證明，該分佈的收斂速度是O（N^（−2/3）），因此在更多的迭代中，我們期望均值趨於1。

Tracy-Widom分佈通常定義為一個特定的潘勒韋方程的解。這是最嚴格的數學公式，但對於驗證實際資料遵循該分佈不是特別有用。可以找到其他的公式，包括矩陣行列式或積分的表示式，但這些會遇到相同的問題。獲得y = f（x）型函式的最簡單方法是使用數值近似。很明顯，Tracy-Widom分佈類似於伽馬分佈。為了估計所需的引數，將γ （k， θ）分佈的前三階矩與相應的數值結果進行了匹配。下圖顯示了與上面相同的資料（對於GOE情況），但是疊加了數值近似。這證實了，如果不是嚴格地，伽馬分佈可以是一個很好的近似的Tracy-Widom分佈。

1972年，在Tracy和Widom發表我們今天看到的統計定律的20年前，生物學家羅伯特（Robert May ）在一個相連的群島上對陸龜種群進行建模。他想找出不同龜種種群的穩定性與島嶼之間聯絡的數量之間的關係。他發現的“臨界點”是2倍根號N，正好是tracey - widom分佈的峰值。1999年，Baik、Deift和Johansson發現，Tracy-Widom定律也描述了整數序列的變化，這是一個完全脫離自然的抽象系統。不久之後，這種分佈在數學和物理中廣泛出現。

最後，我們定義了兩類隨機矩陣，並討論了它們特徵值的一些基本性質。還有很多型別的隨機矩陣。最值得注意的是Wishart-Laguerre集合，它可以幫助研究相關變數的系統。對於那些有興趣學習更多關於隨機矩陣的知識的人，我推薦利文（ Livan ）等人的《隨機矩陣導論，理論與實踐》。這是我所找到的關於這個主題最易讀的介紹。後面的文章我將解釋隨機矩陣理論在金融中的應用。

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