【深度】伽爾頓板揭示了什麼？古典與現代的隨機遊走的區別

伽爾頓板揭示了什麼

作者 | 高宏

一、隨機遊走問題

1905年，英國統計學家Pearson在《自然》雜誌上公開求解隨機遊走問題（Random Walk Problem）：如果一個醉漢走路時每步的方向和大小完全隨機，經過一段時間之後，在什麼地方找到他的可能性最大？

圖1 隨機遊走的醉漢

1921年，匈牙利數學家Polya在研究隨機遊走問題後，證明了“一維或二維隨機遊走返回原點的機率為100%”的隨機遊走定理，並得出了

隨機遊走的醉漢最終會返回原點

的結論。

日本著名數學家角谷靜夫通俗形象地將Polya隨機遊走定理表述為：

喝醉的酒鬼總能找到回家的路（A drunk man will eventually find his way home）

。因此，隨機遊走定理也被稱為

酒鬼回家定理

。

2012年，Polya的隨機遊走定理被《數學之書（The Math Book）》列入數學發展史上最重要的250個里程碑式事件之一。《數學之書》是這樣用現代語言描述隨機遊走問題的，想象一隻機器甲蟲在一條無限長的水管中隨機地向前或向後移動一步，問它最終回到原點的機率是多少？Polya隨機遊走定理證明：如果不限制機器甲蟲在一維空間內隨機遊走的步數，則機器甲蟲最終回到原點的機率等於1。

圖2 《數學之書（The Math Book）》

二、與高爾頓板實驗結果不一致

高爾頓板是英國生物統計學家高爾頓（Galton）專門設計用來演示一維隨機遊走過程及正態分佈現象的實驗裝置（圖3）。

圖3 高爾頓板隨機遊走實驗

高爾頓板上的每一個圓點表示釘在板上的釘子，釘子之間的距離彼此相等，呈三角形排列，上一層每一顆釘子的位置恰好位於下一層兩顆釘子的正中間。

當小球從最上方的入口落下時，小球每次碰到釘子後向左、右兩個方向落下的機率各為50%，直到最後落入底部的一個格子內。

小球的下落過程就相當於一維簡單隨機遊走。把大量小球逐個從入口處放下，只要高爾頓板的面積足夠大、釘子數量足夠多，落在底部格子內的小球將形成與正態分佈曲線相似的中間高、兩邊低的鐘形曲線。

如果高爾頓板面積足夠大，小球在下落過程中將逐漸向左右兩個方向擴散，表明一維隨機遊走的小球（醉漢或機器甲蟲）隨時間遠離原點。

三、

與隨機遊走模型的數字特徵不一致

隨機遊走是《隨機過程》學科中用於描述動態隨機現象的一種基本隨機過程。液體中懸浮微粒的布朗運動、空氣中的煙霧擴散、光纖陀螺的隨機遊走誤差、股票市場的價格波動等動態隨機現象均可用隨機遊走模型進行描述。

《隨機過程》教科書給出了一維簡單隨機遊走

隨機變數

的數學模型

式中 、 ，…， 為獨立同分布 隨機變數。當 時，稱為從原點出發的一維簡單隨機遊走。

一維簡單隨機遊走向左移動一步的機率與向右移動一步的機率相等，有

由於 ， ，因此一維簡單隨機遊走 的數學期望和方差為

表明一維簡單隨機遊走 的方差與步數 成正比，因此，一維簡單隨機遊走是一個類似於物理學布朗運動的擴散過程。

方差是用來刻畫隨機變數偏離均值分散程度的數字特徵，度量的是所有樣本軌道（小球或醉漢）偏離均值的發散程度，因此， 表明，隨著步數 的增加，大量一維簡單隨機遊走的小球或醉漢會遠離原點。

圖4給出了大量一維簡單隨機遊走醉漢的樣本軌道模擬曲線，所有樣本軌道在第 步時的位置 就是隨機變數 在第 步時的狀態， 服從 正態分佈。從圖中可以看出，對於其中任何一條樣本軌道（醉漢），都隨步數 的增加遠離原點，與高爾頓板的實驗結果相同 。

圖4 一維簡單隨機遊走樣本軌道

四、polya隨機遊走定理的證明方法

Polya隨機遊走定理只證明了隨機遊走具有常返性（Recurrence），即

常返性只表示隨機變數 （醉漢集合）返回原點無窮多次的機率等於1，但不能說明一條樣本軌道 （一個從原點出發的醉漢）最終一定會返回原點。

假設有無數個醉漢從原點出發，在第 步時，所有醉漢的位置服從 正態分佈，因此，隨機遊走過程具有如下兩個重要性質：

（1）隨機遊走是一個擴散過程，醉漢樣本整體向遠離原點的方向擴散；

（2）在原點始終可以看到醉漢，也就是說，在原點看到醉漢的機率等於1。

Polya只是利用機率計算方法證明了第二個性質，卻得出了所有從原點出發的醉漢最終會返回原點的結論。

五、polya解題方法的錯誤分析

Pearson的隨機遊走問題是求解一個醉漢第 步時的位移 ，也就是一條樣本軌道 隨時間的演變性質，而非隨機變數 =0的機率。

一個醉漢或一個機器甲蟲的位移 只能被抽象為隨機過程的一條樣本軌道或一個樣本函式，而非隨機過程隨機變數 。

Polya把求解一個醉漢第 步時的位移問題，轉換為求解一個醉漢在第 步時返回原點的機率問題，無形中導致研究物件發生錯位，使研究物件從一條樣本軌道（一個醉漢）改變為隨機變數（大量醉漢的集合），必然會得出與事實不符的結論。

事實上， ， 為任意整數，表明隨機變數 可以到達任意整數點 （包含原點），這一結論從 的機率密度函式服從正態分佈的角度很容易理解。

Polya導致研究物件錯位的樣本軌道研究方法被《隨機過程》和《數理金融學》所傳承。《隨機過程》教科書在分析和推導隨機遊走、泊松跳躍和布朗運動等典型隨機過程樣本軌道性質時，均將樣本軌道當作隨機變數，並用描述隨機變數空間統計特性的數字特徵來刻畫一條樣本軌道隨時間的演變規律，從而得出了一系列與事實不符的錯誤結論，《隨機過程》教科書為自然科學、工程技術和社會科學提供了錯誤的樣本軌道研究方法、理論及工具。

《數理金融學》將隨時間變化的股票價格（相當於一個隨機遊走醉漢的位移）錯誤地抽象為隨機變數，建立的幾何布朗運動價格模型、BS期權定價公式和波動率引數不可能正確描述實際股票價格波動現象和波動程度，在實際應用時給金融市場帶來了巨大的災難。

國內外大量的實證研究已得出結論：BS期權定價公式是導致1987、1997和2007年三次重大金融危機的主要原因，科技部基礎研究司編寫的《中國基礎研究發展報告》也明確指出：BS期權定價理論是造成歷次重大金融危機的關鍵性原因。

Polya將樣本軌道當作隨機變數的研究方法導致《隨機過程》和《數理金融學》陷入了嚴重的正規化危機，《隨機過程》和《數理金融學》學科的樣本軌道研究方法將面臨從隨機變數到時間函式的重大正規化變革。

六、隨機遊走位移公式

為獨立同分布隨機變數，即 的樣本軌道 在不同時刻互不相關，因此 的時間自相關函式為

式中 為單位衝擊序列。

根據維納-辛欽定理，平穩隨機過程的自相關函式與其功率譜密度之間構成一對傅立葉變換，因此 的功率譜密度為

表明 的功率譜密度在整個頻率軸上均勻分佈，因此 為白噪聲時間序列。

由前面一維隨機遊走隨機變數 模型，可直接寫出樣本軌道 的模型

=

可將上式改寫為

式中為 為 在區間 上的算數平均值，其物理意義為一維隨機遊走的質點（醉漢）在區間 上的平均速度。

因此，一維隨機遊走的位移 等於其平均速度 與步數 的乘積， 的變化規律就完全取決於 的特性。

從訊號分析的角度看，白噪聲序列 包含了所有頻率的諧波分量， 在區間上不可能對所有頻率的諧波分量進行整週期擷取，因此頻譜洩漏效應會導致 中出現直流分量，就是隨機訊號 在區間上的直流分量。

白噪聲序列 是隨機序列，由 構造出的 也是隨機的，其方差為

當 充分大時， 的方差趨於零， 趨於一個常數，因此，一維隨機遊走的位移與步數成正比，隨著步數 的增加，醉漢或機器甲蟲會遠離遠點。

作者簡介：

高宏

，畢業於清華大學精密儀器系，分別獲工學學士、碩士和博士學位，留校任教從事測試訊號分析與處理的教學與科研工作，現任紫光股份有限公司CTO，北京市科協委員。