真與可證是不同的，包含算術的形式系統一致性和完全性不可兼得？

1931

年，數理邏輯學家哥德爾

（

1906

——

1978

，

奧地利裔美國著名數學家、邏輯學家和哲學家

）

發表了題為《論

<

數學原理

>

及有

關係統

的形式不可判定命題》的著名論文，其中包含一個對數學界具有“毀滅性”的斷言

：

任一包含算術的形式系統的一致性和完全性是不可兼得的。或者說如果一個包含算術的形式系統是一致的，那麼這個系統必然是不完全的。

所謂不完全，就是指存在一個公式

A

，使得

A

和非

A

在這個系統內都不可證。這就是大名鼎鼎的所謂“哥德爾第一不完備性定理”。哥德爾的工作使希爾伯特的幻想破滅了，因為這與希爾伯特的猜想和人們的希望完全相反

！

其實，如果有興趣和耐心，拋開抽象的形式邏輯後，不需要多少高等數學，用中學數學知識就能大致弄懂哥德爾定理。大家都知道，算術是數學中最基本的體系。這裡，以

“算術公理體系

（

皮亞諾公理體系

）

是不完備的”為例

瞭解

一下證明的思想。

第一步，哥德爾把所用到的算術元件

：

邏輯運算子號

（

非

、

蘊含

、

對任何，

。。

、運算子號

（

加，乘，左右括號，

。。。）

、等號“

=

”、常量

（0

，

1

，

2，

。。。

）

、變數

（x（1），x（2），

。。。

）

等，都一一對應於一個正整數，稱為哥德爾數。

第二步，建立一個透過以上元件寫出算術陳述語句和證明語句的規則。在元件編號的基礎上再定義與這些語句一一對應的哥德爾數。透過哥德爾數的性質又可提供一個規則，判斷一個哥德爾數所對應的語句是或者不是另一個語句的證明。

第三步，根據以上結果構造一個哥德爾數為

m

的語句

：

“具有哥德爾數

m

的語句沒有合適的證明語句”。因為此語句的哥德爾數恰為

m

，這相當於說“本語句不能被證明”。

現在我們看到這個語句就不能根據公理體系加以形式上的證明

。

原因

是

，如果不可證，那麼它已是

一

句不可證明的語句

；

如果可證

，那麼又

說明了

“

本

語句不能被證明

”，也就是說，我們要承認體系

有不

可以證明的語句

！

從

以上的簡單介紹中，我們看到哥德爾定理是從算術公理出發進行推理的，利用哥德爾數討論問題是一個關鍵。

“哥德爾定理”既

為

“

定

理

”，也有“證明”、它的每一步推理都有根據，這些“根據”

歸

根到底也是來自公理體系。也正因為它在算術公理體系內進行推理

，

發現了體系內的問題，它的結論才對算術體系有意義。如果站在算術休系之外，你按你的規則，我按我的根據，那就沒有什麼意義了

。

上述哥德爾定理指出，在任何數學公理體系下，總存在它不能做出判斷的數學命題，即邏輯演繹也存在失效的地方。無論證明怎麼嚴密，一旦納

入

整體來考慮，問題肯定就會暴露出來，這說明公理體系不具有普適性，只在規定的前提範圍內才是有效的。所謂的數學證明也還是在公理化基礎之上的演繹證明，不具有完全嚴格的確定性，具

有一定的不完備性，只具有相對的真理性。

哥德爾不完全性定理打破了數學家兩千年來的信念。他告訴我們，真與可證是兩個概念。可證的一定是真的，但真的不一定可證。從某種意義上悖論的陰影將永遠伴隨著我們。

其

意義之一在於，那種把數學公理體系搞成一個形式化系統、希望所有猜想都能從公理出發加以判定、希望不發生

“出乎始料”的事的願望是不可能實現的

，

這

也

是我們使用數學公理體系時需要注意的。哥德爾不完全性定理的影響遠遠超出了數學的範圍。它不僅使數學、邏輯學發生革命性的變化，引發了許多富有挑戰性的問題，而且還涉及哲學、語言學和計算機科學，甚至宇宙學。