樓梯悖論：3+4=5的錯誤結論

如圖所示，有一個水平長度為4、高度為3的兩階樓梯，它的階梯總長為3+4。如果使階梯變小，但增加階梯的數量，它的總長仍然是3+4。然而，如果階梯的數量是無窮的，最後它就變成了一條線，它的總長仍然是3+4。但是，根據勾股定理，我們可以算出這條線的長度為5，所以我們就得出3+4=5的錯誤結論，這個問題被稱為樓梯悖論。

很多人都知道，這是因為折線和直線之間存在誤差。但如果僅僅認識到這一步，總感覺這個問題不能得到很好的解釋。例如，我們在用任意曲線積分求面積時，老師就教我們用無窮多的細矩形進行代替，但二者之間也是存在誤差的。那為什麼積分求面積就成立，而樓梯悖論就不對呢？

事實上，問題就在於，無限多個小誤差累積起來會不會變成一個大誤差。簡單來說，積分求面積時的誤差是兩個無窮小長度的平方，即二階無窮小。對它進行一階無窮多次累加之後，我們得到的仍然是一階無窮小。而對於所謂的樓梯悖論來說，它的誤差是無窮小長度，即一階無窮小，經過無窮多次累積後就可能變成一個可觀的誤差，所以折線不能用斜線代替。

如果只是用上述的語言進行描述，那麼有些人可能還有點懷疑，那麼下面我們就用一個例子來給大家一個直觀的感受。如上圖所示，誤差面積為三角形Δs=dx·dy。我們令dy=k·dx，其中k為斜率，那麼Δs=k·dx。因為dx=L/n，所以Δs=k·（L/n）。那麼，把n個小誤差累加起來，我們就得到：

所以，當n趨近於無窮時，總的誤差S就趨近於零。

接下來，我們來看看所謂樓梯悖論的誤差。如上圖所示，小直角三角形處的長度誤差ΔL=dx+dy-（dx+dy）^0。5。因為dy=（3/4）·dx，我們就有ΔL=dx/2。同樣，dx=4/n，所以ΔL=2/n。那麼，把n個誤差累加起來，得到總誤差：

所以，當n趨近於無窮時，我們不能把折線看成是斜線處理，並且它們之間的差總是等於2。