15年磨一劍！張益唐111頁零點猜想論文終於來了

編輯：編輯部

【新智元導讀】從孿生素數猜想，到郎道-西格爾零點猜想，這個了不起的男人，他真的「被閃電擊中了兩次」！

昨天，著名華裔數學家張益唐教授在攻克數學界著名難題之一——郎道-西格爾零點猜想問題的道路上再進一步！

目前，解決這個零點猜想問題的111頁的完整版預印本論文「Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero」已經可以下載。

論文連結：

https：//pan。baidu。com/s/1GM61FrLynSfpSn67SoaHow？pwd=1105

上個月，張益唐教授在北京大學大紐約地區校友會舉辦的一次線上學術活動上透露，已解決郎道-西格爾零點猜想（Landau-Siegel zeros conjecture）問題，立即引發數學界廣泛關注。

昨天，張益唐在山東大學的一次線上報告中簡要介紹了這一成果。另外，他還將於11月8日在北大做《關於朗道-西格爾零點猜想》的線上報告。

據澎湃新聞報道，北京國際數學研究中心主任、北京大學數學英才班委員會主任田剛院士證實，張益唐有關朗道-西格爾零點猜想的新論文已完成並已提交至預印本網站Arxiv，預計下週一將正式上線。

張益唐教授研究的這個猜想，跟數學史上的另一個偉大問題——黎曼猜想有關，後者是數學家波恩哈德·黎曼於1859年提出，關於黎曼ζ函式ζ（s）的零點分佈的猜想，是百年來的一大數學難題。

郎道-西格爾零點猜想是廣義黎曼猜想的某種弱形式。

據《中國科學報》今年10月的介紹：簡單來講，如果存在朗道-西格爾零點，那麼黎曼猜想就是錯的；如果朗道-西格爾零點不存在，則不會和黎曼猜想發生衝突。

張益唐的同事、數論學家Stopple曾說，如果張益唐能對朗道-西格爾零點作出證明，加上他的上一份成就，在某種意義上，（其機率）就像是「同一個人被閃電劈中兩次」。

「即使他從未成名，做出這項工作也會讓他跟上次一樣，被世界矚目。」Stopple說。

Stopple說的「上一次成就」，是張益唐2013年在《數學年刊》發表《質數間的有界間隔》，證明了存在無窮多對質數間隙都小於7000萬，在孿生素數猜想這一數論重大難題上取得了里程碑式的突破。

朗道—西格爾零點

在看論文之前，首先咱們來看看，朗道—西格爾零點到底是什麼。

朗道-西格爾零點猜想，是黎曼猜想的弱一些的形式。數學家們為了研究素數分佈，引入了黎曼猜想。

1859年，德國數學家黎曼在論文「論小於給定數值的素數個數」中，首次提及這個猜想。

比某個特定數值要小的質數有多少個？質數在整個數列中的分佈情況又是如何？

黎曼發現，質數的分佈跟某個函式有著密切關係：

這個公式中，s是複數，可以寫成s=a+bi這樣的形式（a是s的實部、b是s的虛部、i則是根號負一）。

當s的實部小於1時，整個級數和可能會發散。為了讓函式適用於更廣的範圍，黎曼把上面的ζ函式改寫為：

當s為負偶數（s= -2， -4， -6…）時，黎曼ζ函式為零。這些s的值，就稱為平凡零點。

不過，此外還有另一些s的值，能夠讓黎曼ζ函式為零，它們被稱為非平凡零點。就是這些非平凡零點，對質數的分佈有著決定性影響。

到了這裡，黎曼本人也無法證明了。不過他做了一個猜測：黎曼ζ函式所有非平凡零點的實部都是二分之一，或者說黎曼ζ函式在1/2

隨後的數學家們，在前人的基礎上繼續前進。

數學家Dirichlet引入了狄利克雷L函式。

對於這個函式，也有一個猜想：狄利克雷L函式在1/2

可以證明，L函式在σ=1時沒有零點，因而可以證明等差數列上的素數定理。

但數學家們希望繼續縮減L函式的非平凡零點的存在區域。有人證明出，L函式的非平凡零點基本上都能落在下面公式中的區域：

如果所有非平凡零點都滿足，就可以證明帶餘項的等差數列素數定理。

但是朗道發現，當X滿足特殊性質時，其對應的L函式可能會出現落在上面公式之外的異常零點。

不過朗道縮小了範圍，他證明了L函式在下面這個區域中最多隻有一個零點，而且這個零點一定是實數，階數只能是1。這個零點就被稱為西格爾零點。

數學家們希望證明的是，西格爾零點不存在，這就是朗道-西格爾零點猜想。

如果能夠證明朗道-西格爾零點猜想，那麼數論研究中的很多問題就不必再排除西格爾零點。

而張益唐的研究，就在極大範圍內排除了朗道—西格爾零點的存在。

論文成果：比15年前強在哪裡？

在10月15日北大校友線上會議上，張益唐這樣說：「雖然是一個弱一點的形式，但本質上已經是解決了朗道—西格爾零點問題。」

此言一出，就引發了數學圈的大地震。如果他證明了朗道-西格爾零點存在，那麼黎曼猜想就完全被否定了，這種可能性太小，因此大家當時的猜測是，張益唐要證明的應該是是朗道-西格爾零點不存在。

今天的論文一流出，果然證明了這一點。

這篇論文結果意義重大，它使得以前的很多結果從假設性結果變成了確定性結果。

據澎湃新聞援引一位數論學者的解釋，以往的很多論文，要假設朗道-西格爾零點猜想成立（也即假設西格爾零點不存在）。

換句話說，這次張益唐的新論文雖然沒有排除掉西格爾零點存在的可能性，但其排除掉的範圍足夠涵蓋很多以往論文所需的範圍。

實際上，張益唐對這個問題研究已久。

早在2007年5月，張益唐就曾在預印本網站arxiv提交了一篇標題為《論朗道-西格爾零點猜想》（On the Landau-Siegel Zeros Conjecture）論文，但裡面的論證有些地方尚需完善。

2007年版論文連結：

https：//arxiv。org/pdf/0705。4306。pdf

這次的新論文，在很大程度上完善和補充了2007版論文的結論和成果。

根據知乎答主「gujurat」的介紹，這次張益唐論文的主要成果，首先是L函式在1點處的下界估計，下界從D的負方冪改進到log D的負方冪。

2022論文 Theorem 1

其次是有關於實軸上非零區域的直接推論，常數是effecitive，說明方法上有本質變化。

2022論文 Theorem 2

相比於張益唐教授2007年釋出的一版論文，這次可謂對07版的一次修補，論文也從07年版的54頁擴到現在2022年版的111頁。

2007年主要成果：下界估計

2007年主要成果：非零區域

如果要完整證明LS零點不存在，需要Theorem 2裡面指數取到-1，所以現階段還沒有「完整」解決LS零點猜想。

在論文最後，張教授也表示Theorem 1裡的指數-2022可能取到更大的負數值，但很難取到-1。

總的來說，完整解決郎道-西格爾零點猜想，無論是證明還是證否，都太過超前。

好訊息是，從論文成果來看，張教授的最新論文比07年的版本有革命性的改進，至於論文究竟能取得多大的進展，還得等專業人士審稿之後才能確定。

張益唐親自解釋：這個問題難在哪？

2019年，在香港中文大學舉辦的「大師講堂」上，張益唐介紹了朗道-西格爾零點問題的歷史和應用，並解釋為何這個問題這麼重要，並且難以解決。

根據香港中文大學（深圳）整理的資料，張益唐本人是這樣介紹的：

不過，目前很快即將發表的Arxiv預印本論文，距離正式登上數學界頂刊發表，尚待同行評議。

之前分析這篇論文意義的數論學者認為，這個評議過程可能會持續幾個月。

論文從2007年版的54頁，擴到現在2022年版的111頁，審稿會是一個大工作。像這種論文，即使是頂尖的專業人士，把論文全部細節推一遍也得幾個月。

11月8日，張益唐將會面向北大師生專門做一場學術報告，B站會有同步直播，感興趣的小夥伴可以關注起來。

圖源：北京大學數學科學學院官網

參考資料：

https：//www。zhihu。com/question/564799818

https：//mathoverflow。net/questions/433949/consequences-resulting-from-yitang-zhangs-latest-claimed-results-on-landau-sieg

https：//mp。weixin。qq。com/s/7cbydb_2vYSLzpiQ6Qb2lw

https：//mp。weixin。qq。com/s/OgOsgp2wklSw86LQSnpuAA

https：//www。zhihu。com/question/360965839/answer/2113995432

本文多處參考了知乎答主「gujurat」對該論文內容和意義的洞見和分析，在此表示感謝！