關於無限——那些常識、哲學、數學、物理學中無限的區別

無限，一個似乎無處不在又似乎難以捉摸的東西，這個神奇的東西，在不同的人眼裡散發著不一樣的光芒。有人認為很尋常，不過是一個形容詞罷了，有人認為這很值得研究，但必須要把它限制在一個嚴格的範圍，還有人認為這樣嚴格的範圍大可不必，還還有人認為它有盡頭。這些抱著不同想法的人有大哲學家、大物理學家、大數學家、普通人，當然了，這裡也少不了自作聰明的蠢人。

今天寫在這裡，目的在於希望在一些角度能夠普及一些關於無限的奧秘，儘管侷限於個人能力會產生一些表達上的不規範，但出於普及的目的大約也足夠了，畢竟深入瞭解這些內容的人們是沒有必要從這裡獲取什麼認識的，而我所做的也只不過是普及罷了，倘若有人能更進一步瞭解一下合理的指出了我的謬誤，這便是我最大的希望了。

希臘哲學家亞里士多德在兩千多年前，就已經對無限進行區分，他把無限區分成了潛在無限與實在無限，而這樣的區分這也許是歷史上最後一次關於無限的知識和普通人的直覺想象是如此的接近。對於普通人而言，中國古代的一句“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”是關於無限最直接也最平易近人的一種想象了。而這裡絕對的萬世不竭即可以粗暴的理解為亞里士多德的實無限，而一尺之棰，日取其半，相對的在人類一定歷史時期的尺度上終是有盡頭的，而這個盡頭就可以粗暴的理解為潛在無限。

而亞里士多德給人們設定的這個關於無限的禁區，一直跨越了千年，規訓著人們對於無限的認識。長久以來人們相信著這樣一個事實，那就是關於實在無限，不屬於有意義的討論範圍，關於數學也要存在於可透過有效手段構建的事物範圍之內才有意義。所以才有了那些每個小學生都知道的常識，直線和射線不可以比較長短因為它們都可以無限延伸。

然而真的就必須如此麼？

跨越了千年黑暗，一直到19世紀末，一位看起來敏感而又稍顯脆弱的數學家站了出來給出了自己的答案，這位數學家就是集合論的創始人，德國人格奧爾格。康托爾。

康托爾首先給出了關於可數無窮集與不可數無窮集的理論雛形，儘管當時的他因為提出的這些理論稍顯超前而引來攻訐，導致他的精神陷入艱難，但我們這些後世之人卻由此打開了數學世界的一扇光明之門。康托爾用他的對角線證明法，證實了佔實數中絕大部分的超越數的存在，由此讓人們明白了關於無限哪些是可以等價的，那些是可以比較的。當然這裡為了能夠方便更多人理解關於無線之間是如何比較的，我們就稍微簡單的介紹一下關於康托爾的對角線證明法，出於僅作為對過程的介紹，這裡省去了諸多必要的前提只描述最關鍵的部分。

當我們考察無限的正整數所構成的集合和無限的0到1之間的實數集合，這兩個集合的大小如何證明時，我們可以假定這兩者是可以一一對應的等價集合，於是我們很容易就可以用無限的正整數對無限的01之間的實數進行一一對應編號，這樣左右兩邊形成了兩列一一對應的實數和正整數。接下來我們在實數列小數點的第一位開始每個數字都同樣加1，於是我們就得到一個在與正整數一一對應的實數數列裡從來沒有出現過的一個實數，而這一實數就是超越數。由此我們從這樣的證明裡知道了超越數的存在，知道了實數這一不可數無窮集的無限要大於正整數這可數無窮集所形成的無限。

於是在數學裡關於“無限”從此有了區別於人類直覺之內的涵義。

而當我們再去看物理學的時候，又會驚訝地發現無限的涵義在一些物理理論中又有了區別於直覺的深刻不同。20世紀最著名的物理學派之一，波爾和海森堡建立的哥本哈根學派提出的量子引力理論，提出對時間和空間的量子化。但很快，朗道用他的物理直覺對理論提出了一些質疑，朗道認為量子漲落會影響我們對於時空某一點的測量，雖然隨後波爾也給出了看似合理的解釋，但很快朗道的好友馬特維給出了更加強有力的質疑，馬特維提出，當我們試圖對某一極小的空間進行測量的時候，需要在這裡放一些什麼東西進行標記比如一個粒子，但當我們這麼做的時候，根據海森堡的測不準原理，我們無法把一個粒子放在確定的區域很長時間，這一區域越小粒子逃逸的速度就越大能量也就越高，根據而相對論的原理，粒子的巨大能量會使其跌入自身的黑洞，這樣我們就無法測量它了。

就在陷入這樣的矛盾之後，惠勒提出了他頗為浪漫的量子泡沫理論，惠勒給出的關於空間的一些定義發生了一些變化，空間在這裡變成了一種量子泡沫，一種存在最小尺度的非連續存在，那個最小尺度也就是如今人人都熟知的普朗克空間尺度。

於是到了這裡我們發現在物理學意義上，空間所構成的無限也不再是“日取其半，萬世不竭的實在無限了。”然而倘若我們空想一下，空間的這種非實在無限是否就意味著必然是數學意義上的可數無限或亞里士多德的潛在無限呢，我對這一點並不清楚，也很難哪怕是有一些臆斷，因為畢竟在這裡寫下的一切也僅僅是一種出於普及的角度而所做的不那麼規範的類比而已。

但即使一些我無法給出答案，但並不要緊，因為我在這裡想要普及並非這些本該有殿堂級大師們才能發現或創造的理論本身，而是僅僅試圖透過在不同學科內關於“無限”這一神秘的存在所展現出的一些端倪來給更多人帶來一些啟發。所以我認為，我仍然可以說一些什麼。

我們以上用了兩千多字終於粗略而簡要地描述了一番在哲學、數學、物理學學科內的一些關於無限所展現出的性質。首先，哲學上對無限所做的關於潛在無限和實在無限的區分，其中潛在無限更是表現出了一種對人類直覺天然的親切。其次，數學上關於可數無限和不可數無限的證明過程以及那遠離人類直覺的超越數。以及物理學上空間在無限小的尺度上表現出的不可再分性。

而透過以上的展示我們又能明白什麼呢？我認為，很直接的就能讓我們明白一點，那就是當我們在嚴肅認真的討論一個問題的時候，一定要明確區分清楚這個問題的討論需要被限制在哪一個範疇之內！只有我們明白了這一點，才能真正地明白，倘若我們試圖證明一個數學問題，就絕不能使用文學詞彙內涵的多樣性。比如當我們回到19世紀的康托爾時刻，我們試圖證明無限和無限是否可以進行比較的時候，就不能使用因為無限這一詞彙在文字涵義上的相同就簡單的用直覺認為他們相同，並且理直氣壯的認為自己證明了一個數學問題。也許很多人看到這裡會覺得好笑，會認為沒有人會這麼傻，但請相信我，這個世界上用語文方法來證明數學命題的民間科學家大有人在！比如這些民間科學家來證明無限正整數構成的集合與無限實數集合大小時，會提出因為正整數和實數中有理數集合是等價的，因此證明了正整數集合小於實數集合，全然不顧首先證明了超越數的存在才有了可數無限集合之間的等價這一現實，醉心於用1+1=2證明了2+2=4的快樂。

而我所希望的我所寫這篇文章的目的之一，正是杜絕更多這種“人”的出現。當然多說一句，使用物理空間上的普朗克尺度不可再分在數學上要證明不可數無窮的也是有些不妥的，因為他們分屬兩個範疇，一個是數學一個物理。

在說完不要用看起來像是哲學的語文或者物理來證明數學的時候再看一看另一個問題。數學中實數的不可數無限與代數數的可數無限，和物理學的空間普朗克尺度的不可再分，他們之間似乎總覺得在冥冥之中有些什麼關係，但很遺憾我沒有看到或者也可能沒有這樣的理論能對兩者建立起一些實質的聯絡。

而之所以會有以上這種看起來有些無聊的空想，也是因為從楊振寧關於數學與物理的關係的演講裡，瞭解到數學裡的纖維叢理論竟然和物理學的規範場理論在事先沒有交流的獨立發展中竟然得出了近乎相同的理論，兩個理論只是在一些基本概念有些名義上的不同而已。我從楊振寧對纖維叢和規範場的異曲同工的驚訝裡，也看到了他對於物質世界那本來難以捉摸的本質，竟然不約而同的在數學家和物理學家那裡顯露出一些可以交叉驗證的端倪以後的震驚。

關於解釋這一切為什麼會發生，楊老說那可能是宗教的任務了，不過我對宗教卻不怎麼抱有什麼幻想，畢竟宗教無論是想象力還是行動力都太差了。

我所希望的是能有一天，我竟然可以聽到有人能告訴我，關於數學上的那些不可數的無限亦或者其他的那些原本純粹作為數學的內容在物理世界竟然也可以真實地代表一些什麼，雖然這聽起來似乎有些自相矛盾，因為那些導致不可數的超越數明明就被稱為非代數數，而代數數似乎聽起來又代表著什麼，所以權當作是一種無聊的空想吧，但我仍然希望未來能有驚喜。

討論完以上那些讓我在描述時感到困難的內容後，我們再回到常識的世界，或者也可以說是直覺的世界，我們上面說了一些關於什麼不能做的內容，但顯然作為人群中的絕大多數，普通人所擁有的仍然還是常識的世界，難道我們再常識的世界裡竟然沒什麼可做了麼？當然不是的，作為普通人求知是一種生存需求以外體現為人尊嚴的最好方式，既然我們來到這個世界，即便是作為一個普通人，但是我們仍然天然地擁有獨一無二的人格，我們對這一份獨一無二最好的交代不應該是吃喝玩樂，那些都是本能裡就有的東西，無需努力就可獲得。

生而為人，我們能做的還有很多，沿著前人開拓好的路，即便侷限於自身天份的努力無法照亮別人，那麼也請照亮自己！