數學中的幾個心

三角形的重心：含義：是三角形三條中線的交點。

性質：1。重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1

2。重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3。重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4。在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均，即其座標為（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）

在空間直角座標系中，橫座標：（X1+X2+X3）/3 縱座標：（Y1+Y2+Y3）/3 豎座標：（Z1+Z2+Z3）/3

5。重心和三角形3個頂點的連線的任意一條連線將三角形面積平分。

6。重心是三角形內到三邊距離之積最大的點

三角形的外心：含義：是三角形三條垂直平分線的交點（或三角形外接圓的圓心） 。

性質：1。三角形三條邊的垂直平分線的交於一點，該點即為三角形外接圓的圓心。

2三角形的外接圓有且只有一個，即對於給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合。

3。銳角三角形的外心在三角形內；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點重合

4。OA=OB=OC=R

5。∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA

6。S△ABC=abc/4R

三角形的內心：含義：是三角形三條角平分線的交點（或內切圓的圓心）。

性質：1。三角形的三條角平分線交於一點，該點即為三角形的內心

2。三角形的內心到三邊的距離相等，都等於內切圓半徑r

3。r=2S/（a+b+c） 4。在Rt△ABC中，∠C=90°，r=（a+b-c）/2。

5。∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2

6。S△=［（a+b+c）r］/2 （r是內切圓半徑）

三角形的垂心：含義：是三角形三邊上的高的交點（通常用H表示）。

性質：1。銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外

2。三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心

3。 垂心O關於三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上

4。△ABC中，有六組四點共圓，有三組（每組四個）相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF

5。 H、A、B、C四點中任一點是其餘三點為頂點的三角形的垂心（並稱這樣的四點為一-垂心組）。

6。△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圓是等圓。

7。在非直角三角形中，過O的直線交AB、AC所在直線分別於P、Q，則 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC

8。三角形任一頂點到垂心的距離，等於外心到對邊的距離的2倍。

9。設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 10。銳角三角形的垂心到三頂點的距離之 和等於其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。

10。銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形（頂點在原三角形的邊上）中，以垂足三角形的周長最短。

☆：在正三角形中，中心、重心、垂心、內心、外心重合