在三維空間中運動

當粒子在三維空間中

沿任意形狀的軌道運動時，通常用向量描寫各個運動學量。在這種情況下，

位置、

位移、

速

度和

加速

度等運動學量

的定

義

與一維運動的情況類似。

當物體沿任意形狀的軌道運動時，用向量描寫運動是方便的。為了用向量描寫粒子的運動，畫一段從座標原點指向粒子所在位置的有向線段，稱之為粒子的位置向量，簡稱位矢，用

r

表示。利用向量的合成法則，可以將位置向量分解成沿各座標軸的三個分向量的組合：

其中

是粒子所在位置的座標。這個表示式被稱為位置向量的解析表示式。從這個表示式可以看到，位置向量與座標系的選擇有關，座標軸的朝向和座標原點不一樣，位置向量就不一樣。

有了位置向量的概念，就可以進一步研究粒子的運動。假定一個粒子從原先的位置

r

移動到了一個新的位置

r

，我們就說這個粒子發生了位移，位移用符號

表示。顯然，位移是一個向量，這從“它是由兩個向量相減得到的量”這一點就能夠做出判斷。從上面的示意圖中我們再一次看到，與一維運動一樣，位移與座標系的原點的選擇無關，也與粒子的運動過程無關，只取決於粒子運動時產生這個位移的始末位置。

有了位移，還需要知道產生這段位移所耗費的時間，才能確定粒子運動的快慢程度。假定粒子在

時刻處於位置

r

（在上面的示意圖中就是

r

），在經歷了

時間後運動到

r

+

r

（在上面的示意圖中就是

r

），那麼，它在

這段時間間隔內就有一個平均速度：

如果我們令

這段時間間隔無限地縮短，就得到粒子在

時刻的瞬時速度：

利用位置向量的解析表示式以及三個單位向量均與時間無關的性質，根據求導規則得到

結果發現，速度的三個分量正好就是

《用向量描寫運動》

那一節給出的結果。

在《

粒子沿直軌道運動

》一節中，我們曾經用一個簡單的例項說明，在一般情況下，位移與路程並沒有必然的關聯。不過，在時間間隔趨於零的極限情況下，事情就不太一樣了。由下一段的分析不難明白，在這種情況下，路程的微元與位移的微元的絕對值相等：d

s

=|d

r

|

。這個等式的兩邊形式上除以時間間隔的微元，就得到以下等式：

等式的右邊正是瞬時速度的大小，而等式的左邊被稱為瞬時速率，簡稱速率。速率等於速度的大小，這個結論同樣適用於粒子沿直軌道運動的情況。

前面已經說過，位移是一個向量。現在我們看到，速度是位移向量除以一個標量性的時間間隔。所謂“標量”指的是隻需要一

個數值

就能夠完整地描寫的物理量。顯然，速度繼承了位移的屬性，也是一個向量。那麼，這個向量指向何方呢？我們先來看看，從某一個位置開始，在一段有限的時間間隔

內，位移

r

的指向，這很容易從下面的示意圖中看出。接著，我們將

縮短，結果發現，

r

的指向發生了改變，朝向更貼近運動軌跡的方向。如果不斷地縮短

，就會發現，

r

也不斷地更貼近運動軌跡。由此可以判斷，如果令

，對應的

r

應該指向最貼近運動軌跡的方向。我們知道，過一條曲線的任意點所畫出的所有可能的直線中，過該點的切線最貼近這條曲線。這就意味著，當

時，在所考慮的位置上，

r

沿著運動軌跡在該點的切線。而由上述逼近過程則容易判斷，

r

或者

v

沿著運動軌跡的切線並指向前進的一方。於是，從近似的意義上說，在這一瞬間，粒子沿著彎曲軌道在該點的切線運動。

把上述分析過程應用到運動軌跡的每一個點上，我們就可以得出一個奇妙的結論：沿彎曲軌道的運動可以被分解成無數個沿無窮短的直軌道運動的疊加，當粒子運動時，這些無窮短的直軌道與運動軌跡相切並相互銜接，這樣不斷地發生改變，就構成了一條連續的和光滑的彎曲軌跡。

進一步還可以定義加速度的概念。假定粒子在

時刻的速度為

v

，在經歷了

時間後，速度為

v

+

v

，則在這段時間間隔內，粒子的平均加速度被定義為

而瞬時加速度則被定義為

與速度的情況類似，加速度繼承了速度的屬性，是一個向量。現在仿照對速度的討論，我們來確定加速度的方向。我們先來看一段有限的時間間隔

。在

時段，粒子發生了位移

r

，並有了一個速度改變數

。這個

可以透過這樣的方法得到：利用向量的平移不變性，把末速度做一個平移，使始末速度向量的尾部相接，這樣，從初速度的箭頭處指向末速度的箭頭處畫出的有向線段就是

。從上面的示意圖可以看出，初速度、末速度以及始末速度之差這三個向量構成一個三角形。令

，就可以判斷

或者

的方向。結果發現，無論在所考察的軌道上的哪一個點，最終得到的

總是指向軌跡曲線的凹陷方向。如果運動是加速的，

就會朝向前進的方向傾斜，如果運動是減速的，

就會逆著前進的方向傾斜。稍後我們會進一步看到，把加速度按法向分量和切向分量進行分解，正好可以描寫這個

圖象

。