生活在三維空間，如何思考九維空間的事？| 量子群英傳

引言

拉馬努金求和自然數 維數保證光子零質量

撰文 | 張天蓉

責編 | 寧 茜 呂浩然

有人認為，弦論“最邪乎”的一點就是多維空間。我們身處的空間明明是3維的，幹嘛要多此一舉，加上這麼多的額外維度？然後，為了說明這些看不見、摸不著的維度，又“編”出一套什麼“緊緻化”“捲曲化”之類的說辭，來解釋它們。

上面的說法當然是外行人強加給弦論學家的，這是因為外行人不瞭解弦論發展過程中的許多細節。所以，現在我們就來介紹一下弦論“額外維度”這個想法的來龍去脈。

01 弦論的時間空間

如果不算時間，最早的玻色弦論

（Bosonic string theory）

的空間是25維、超弦論

（Superstring Theory）

是9維、M理論

（M theory）

是10維。這些數字其實是有來由的。為何剛好選中了25、9、10這幾個數值呢？那是因為，只有當空間是這些維數時，我們才能得到自洽的理論，否則便會出現一些奇怪的“反常”結果。諸如機率大於1、負機率、光子質量不為零等等。

一個物理理論，決定了空間的維度數目，這的確是前所未有的。弦論之前的理論物理，無論是經典、量子或相對論，對空間的維度都沒有任何限制。這些理論固然毫無疑問地預設“三維空間”，但就理論本身而言，搬到多少維的空間中也是照樣成立的。

說奇怪也不奇怪，基礎物理學的目的是為了解釋世界，回答一個又一個的“為什麼”。這種解釋是一層一層逐步展開的：經典物理解釋的是人人都可見的宏觀現象；量子物理解釋一般人不瞭解，但實驗室能觀測到的微觀世界；狹義相對論解釋高速運動；廣義相對論則解釋大尺度的宇觀世界。

到了弦論這一層次，除了統一引力和量子的目的之外，物理學家們也希望理論能解釋一些更為基本的事實。例如：質量的來源，電荷的來源等等。其中也包括“時間是什麼？”“空間是什麼？”這些古老的疑問，以及“空間為什麼是三維的？”“時間為什麼是一維的？”，這種前輩物理學家們可能想都沒想過的問題。

02 限制維度以使光子質量為零

根據弦論模型，弦的不同振動產生不同的粒子。例如：以A方式振動產生夸克，以B方式振動產生中微子……弦的振動產生了現有理論中的“基本粒子”，基本粒子又構成了世界萬物。

圖1：弦不同振動構成萬物

特別要指出的是，弦論認為：引力子由閉弦的運動產生，光子則由開弦的振動產生。這兩種粒子的靜止質量都為零，而弦論中空間的維度數目，便可以由“光子靜止質量為零”這一點匯出。

也就是說，光子質量為0，在弦論之前的物理中是一個既定事實，而在弦論中是理論推導的結論。

光子的靜止質量，即最小質量，由光子可能有的振動模式決定：

光子靜止質量 = 光子弦基態能 + 光子弦振動能。

圖2：諧振子的基態能和振動能

基態能是最低的能量態，是一種“量子漲落”，與“振動能”不是一碼事。

圖2給出的是諧振子的基態能和振動能示意圖。如果從經典物理的觀點，基態能量應該為0，Ec=0，諧振子靜止在碗中心的最低處，見圖2a。然而，如果考慮量子規律，遵循不確定性原理，每個基態的能量都不可能為0，對所有可能的振動模式求和後便是基於“量子漲落”的基態能，諧振子不可能完全靜止，見圖2b：E

q

=

S

（h

w

/2）。而振動能表徵的是某種激發態（E

n

= h

wn

），如圖2c。

圖3：D維空間中光子弦的振動

現在我們考慮對應於光子開弦的能量。與圖2所示諧振子情況類似，只是光子是D維空間的一條開弦，它的振動情況顯示在圖3a中。

首先考慮最早的玻色弦論。圖3a中，假設在D維空間中的光子其傳播方向如紅色箭頭所示。因為光子的振動是橫波，所以在傳播方向上沒有振動。因此，可能的振動發生在除了傳播方向之外的其它（D-1）維空間中。對每一維空間，振動可以取無窮多種（1+2+3+……）模式，如圖3b所示。可能的總模式數目：

M=（D-1）×（1+2+3+…）=（D-1）×S自然數

總模式數決定了光子基態的能量，再加上激發態的振動能

（根據弦論的光子模型，這個數值是2）

。因此，光子最小質量：

m0=（D-1）×S自然數+2

這裡出現了一個奇怪的問題：為了使得光子最小質量m0=0，可能的模式數目M要等於-2。這看起來是不可能的，因為S

自然數（簡寫為S）

是所有的自然數之和，應該是個無窮大的數值。

因此，我們這兒插一段數學：研究一下S=1+2+3+…，即所有自然數之和。

其實，我們在中學時就知道了，這個級數不收斂，趨於無窮，有啥可研究的呢？不過，對於這個問題，數學家們絞盡了腦汁。而我們只需要理解一下結果就好了，何樂而不為呢？先講一個故事。

03 拉馬努金的故事

拉馬努金

（Ramanujan，1887-1920）

是一位印度數學家。聽聽數學家們對他的評價：出身普通，自學成才，未經訓練，知識不多，依賴直覺，成果空前。

拉馬努金只迷戀數學，在其他科目的考試中經常不及格。也沒有正規的數學老師，直到被英國著名數學家戈弗雷·哈代

（Godfrey Hardy，1877-1947）

發掘。用哈代的話來說，拉馬努金“對現代歐洲數學家的成果完全無知”“就是個接受了一半教育的印度人。”

1913年的拉馬努金，窮困潦倒、疾病纏身，卻做了很多數學研究。他致信劍橋大學的哈代，提及了一大堆他所發現的數學公式。哈代帶著困惑檢驗了這個印度小職員的研究成果，發現了好幾個令他吃驚的玩意兒。他向拉馬努金髮出了一封到劍橋大學的邀請函。於是，拉馬努金離開妻子到劍橋待了近6年。之後因病返回印度，但不久便去世了，只活了32歲。

拉馬努金慣以直覺匯出公式，不愛作證明。據說他短短的生命中給出了3000多個公式，平均每年100個。他的理論往往被證明是對的。其所猜測的公式還啟發了幾位菲爾茲獎獲得者的工作。

在拉馬努金致哈代的信中，就包括了自然數求和的問題。看看他的驚人答案：從1到無窮大的自然數之和，等於（-1/12）。

下面是拉馬努金有關這個級數的筆記：

圖4：拉馬努金手稿

拉馬努金對自然數無窮級數的求和給出了兩種方法，一種極為不嚴格，一種極為嚴格。上面筆記中草草寫下了不嚴格的理解方式。

哈代讀信後的反應是“此人不是瘋子便是天才！”。但哈代對這個自然數求和的結論並不感覺驚訝和奇怪，因為早在18世紀的瑞士數學家尤拉

（Leonhard Euler，1707-1783）

對此種發散級數就有所研究，後來的黎曼

（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）

也已經用他的ζ函式，對這個自然數求和得到了同樣的、更為嚴格的結果。

04 計算自然數之和

拉馬努金對（-1/12），有一個不嚴謹也不靠譜的“證明”方法，就是他寫到上面筆記中的方法。如今網上流傳的與其大同小異。

01

最簡單的“理解”方法

將所有自然數之和記作S 。

S=1+2+3+4+5+6+……

-4S=-4-8-12-16-20-24……

上面兩個等式相加：

-3S=1-2+3-4+5-6+……

然後，拉馬努金利用函式1/（1+x）2的泰勒級數展開來計算上面的級數

1/（1+x）

2

=1-2x+3x

2

–4x

3

+5x

4

–6x

5

+……

最後，設定x=1，便得到：

-3S=1/（1+1）

2

=1/4

由此得到S=-1/12

拉馬努金上面的“證明”是不可取的，因為那種“錯位加減”不能用於發散級數，不同的錯位加減，會導致不同的結果。但拉馬努金很聰明，給出簡單理解的同時也給出了嚴格的證明，那是與不同的求和定義有關。

02

“和”的不同定義

什麼意思呢？求和不就是相加嗎？

是的。但我們通常理解為正確的傳統求和定義，被稱為柯西

（Cauchy）

的“求和”。這個定義嚴格而又符合常理，只是不能處理發散的無窮級數。數學家們就想：是否可以靠改變求和的定義來給無窮級數一個有意義的數值？為此數學家們定義了塞薩羅

（Cesaro）

求和、阿貝爾

（Abel）

求和、拉馬努金求和等。其中最簡單的Cesaro求和，是用取“和的平均值”的方法。例如下面級數：

1–1+1–1+1–1+1+……

這個級數是不收斂的，因為結果不趨於一個固定數，而是以相等的機率於0、1兩個數之間搖擺。根據Cesaro求和，可以把結果定義為1/2，儘管不是通常意義下的

（柯西和）

，但卻也容易直觀理解，因為1/2是1和0的平均值。

如果和的平均值也仍然不收斂的話，有些人就用“和的平均值”的平均值來定義，還可以進一步以此類推下去；或者用別的方法來定義“和”。據說拉馬努金就提出了一個求和方法，非常複雜難懂。我們就跳過去不介紹了。

03

解析延拓方法

還有另外一種方法處理發散的無窮級數：解析延拓。意思就是說將函式的定義域連續光滑地擴大到原來不能應用的數域。

如何用解析延拓來解決自然數求和問題？還得從尤拉的研究說起。

遠在拉馬努金寫信給哈代的一百多年之前，尤拉就研究了自然數求和的問題，並且也用不怎麼靠譜的“錯位加減”方法，得出了（-1/12）的結論。他在證明過程中，用了一個級數展開式：

尤拉給出的這個ζ函式只定義在當s為正實數的情況。後來，黎曼研究該級數時，他首先把定義域擴充套件到了實部大於1的複數。然後黎曼證明了一個函式方程：

其中的Γ（n）是Γ函式：Γ（n）=（n-1）！。

用這個方程，黎曼將其ζ函式解析延拓到了實部小於1的情況。例如，如果在方程中令s=-1，於是，等式右邊變成：Γ（1-s）=Γ（2）=1，ζ（1-s）=ζ（2）= p2/6，……

最後便能得到：ζ（-1）=-1/12。

04

洛朗級數展開

上面的方法，包括重新定義“求和”及解析延拓，實際上計算出來的結果，都可以說已經不是原來意義上的“自然數之和”了。不得不承認，這個（-1/12）的確與自然數之和有關係。但是，較勁的人仍然心存疑惑：原來的無窮大躲到哪裡去了呢？

因此，我們介紹另一種洛朗級數展開的方法。

泰勒展開將函式展開為冪級數

（冪次包含0和正整數）

。有時無法把函式表示為泰勒級數時，也許可以展開成洛朗級數

（Laurent series）

。洛朗級數是冪級數的一種，它不僅包含了正數次數的正項，也包含了負數次數的項，如下所示：

例如，對自然數求和公式：

我們考慮複變函式：

在e的零點附近的洛朗展開：

所以，-1/12的結果不是莫名其妙來的，是e的零點附近的洛朗展開中的零階項。可以如此理解：所有自然數的和是無窮大，但趨向這個無窮大時有其漸進性質（1/e

2

），除掉e趨於零時的發散項和高階項，只留下與e無關的，便得到（-1/12）了。這個結果也符合物理中重整化的思想。

05 回到維度計算

回到利用光子最小質量為0來計算維度的問題。

玻色弦論中，光子最小質量m0=（D-1）×S自然數+2，將S自然數=-1/12代入，並令m0=0，可以解出D=25。因此，玻色弦論需要25維的空間才能自洽。

如果是超弦論，除了正常的普通空間之外，還有超空間

（Hyperspace）

以及其上的格拉斯曼數

（Grassmann numbers）

空間

（對此不作更多解釋，因為已經大大超出了科普的範圍）

。

因為三類空間

（普通空間、超空間、格拉斯曼數空間）

的存在，光子對應的超弦振動基態能量，變成原來的三倍，從光子最小質量m0=3×（D-1）×S自然數+2=-3×（D-1）/12+2=0，得到D=9。

後來的m理論，又因為統一5個超弦理論及超引力理論的原因而將空間維數增加到了10維。

所以你看，各種弦論的空間維度，也不是憑空想象的，還是有理論依據！