漫談泰勒級數

微積分算一階導數

幾何意義非常明確，函式曲線在一點的切線斜率

二階導數，幾何意義，依然明確

用來定這點函式曲線是凸的還是凹的，有沒有可能是拐點。

一階導數，物理意義更明確，假設原函式為距離，自變數為時間，

一階導函式 就是速度隨時間變化的函式

二階導函式，就是加速度隨時間變化的函式。

而牛頓第二定律，直接將加速度和力聯絡在一起。

所以好多力學的微分方程，是二階常微分方程。

古代建築拱券，是部分圓弧

那三階導數，四階導數有什麼具體意義和實用價值呢？

什麼情況下，使用函式的 高階導數呢？

泰勒級數呀，泰勒級數這個神器，可以用一個函式在一點的前n 階導數值來逼近這個函式，把函式展成冪級數。

比如說，計算圓周率可以透過以下級數來逼近

用反正切函式泰勒展開計算圓周率

這個公式是如何來的？如何知道這個計算公式是正確的？

就是將 arctan x 反正切函式，按泰勒級數展開，計算 arctan 1的值，就是 1/4π。

我們常常繪製函式的曲線。

如果兩個函式曲線交於一點，

就是這兩個函式的函式值在這點相等。

這樣，這兩個函式的關係，就有點親密。

起碼在這點相交了。

如果更近一步，這兩個函式，在這點不止相交，而且一階導數值也相同，

那它們在這點相交，而且切線斜率也相同，

親密程度就更近了一步。

再往下，如果它們的二階導數值，以至於前n階導數值在這一點都相同，那它們的關係就非常親密了。

如果把這兩個函式的曲線畫出來，則這兩個函式不止在這一點相交，在這點附近的形狀非常相似，非常的靠近了。

就可以用一個函式來逼近計算另一個函式的只。

一個函式的泰勒展開，就是找到一個冪級數函式，和原來這個函式在一點的函式值相等，在這點的各階導數值也相等。

這樣，在這點附近 就可以用這個冪級數函式，也就說泰勒展開，來逼近 這個函式值。

這裡用了一個詞，附近，好像有些模糊，附近是靠的有多近，才叫附近，有具體的數值嗎？

有的，這個附近，就是這個級數的收斂半徑。

比如 ln（1+x） 的泰勒級數展開的收斂半徑就是1，利用 x=0處的泰勒展開式，最遠可以用來逼近 ln 2 的值，算ln 3 就不行了。

古代計算圓周率，用割圓術，就是圓的內接正多邊形來逼近圓周的長度。

而 上邊的泰勒級數，計算圓周率，直接有公式，只要計算的項數足夠多，就可以逼近到任意精度，不需要計算分析內接正多邊形了。

這個差別，顯示出微積分的強大威力。

一個函式，在一點的函式值和各階導數值，深刻地揭示了這個函式的性質。

古代割圓術，計算圓周率，考慮的計算物件，一直是整個圓周。

而用反正切函式泰勒級數展開計算，考慮的計算物件是圓周角度，就是弧長比半徑，隨著正切值的變化情況。利用正切值零點，來逼近正切值一點的弧度值。

微積分的思維方程和割圓術相比，實現計算物件從靜態到動態方式的轉換。

牛頓為了研究運動現象，計算出 物體運動的瞬時速度，而想到了無窮小和導數。

導數，不止可以表示物體運動速度，

還可以 一般化為表示其它事情的變化率。

把弧度隨正切值 變化的 這個事情，放到動態的角度理解，立馬得到比割圓術更深刻的結論。

我們搬東西，最直接的方式是抱著走。

後來，發明了輪子，放在車上搬。

後來又發明了鐵軌，把車放在鐵軌上。

後來又發明直升機，可以透過空中搬。

直升機

平臺越來越好用，搬運效率越來越高，離日常生活形成的直覺也越來越遠。

各種數學工具的發明也是這樣。

微積分發源於研究運動現象，發展出動態思維，用於研究靜態的現象，效率得到了大提升。

向量發源於研究力學現象，我們日常推拉物體，物體有比較明確的受力點，而天體受到的引力，物體受到的重力，沒有單一明確的受力點，可以看成重心和質心是受力點，用來計算。實際上，整個物體處處受力。

所以研究天體力學，首先考慮的是力的大小和方向，後邊才考慮具體受力點。形成了向量思維。

星系

這種向量思維，返回去研究靜態的圖形，也取得了 比歐幾里得幾何 更高的效率。

傳統數學 類似於畫靜態影象。是照相機。

微積分相當於攝像機，可以記錄動態影象。

泰勒級數，就相當於在多幀影象中，選取最滿意的一幀 作為 照片使用。

用動態的思維來研究靜態的事物。

泰勒級數 體現出了微積分思想的深刻之處。