2020-2021九年級數學圓的綜合的專項培優練習題及詳細答案

射影定理是什麼

2020-2021九年級數學圓的綜合的專項培優練習題（含答案）及詳細答案

一、圓的綜合

1。如圖，以O為圓心，4為半徑的圓與x軸交於點A，C在⊙O上，∠OAC=60°。

（1）求∠AOC的度數；

（2）P為x軸正半軸上一點，且PA=OA，連線PC，試判斷PC與⊙O的位置關係，並說明理由；

（3）有一動點M從A點出發，在⊙O上按順時針方向運動一週，當S△MAO=S△CAO時，求動點M所經過的弧長，並寫出此時M點的座標。

【答案】（1）60°；（2）見解析；（3）對應的M點座標分別為：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3）。

【解析】

【分析】

（1）由於∠OAC=60°，易證得△OAC是等邊三角形，即可得∠AOC=60°。

（2）由（1）的結論知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP邊上的中線等於OP的一半，由此可證得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判斷出PC與⊙O的位置關係。（3）此題應考慮多種情況，若△MAO、△OAC的面積相等，那麼它們的高必相等，因此有四個符合條件的M點，即：C點以及C點關於x軸、y軸、原點的對稱點，可據此進行求解。

【詳解】

（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，

∴△OAC是等邊三角形，

故∠AOC=60°。

（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；

∴AC=1

OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，

2

而OC是⊙O的半徑，

故PC與⊙O的位置關係是相切。

（3）如圖；有三種情況：

①取C 點關於x 軸的對稱點，則此點符合M 點的要求，此時M 點的座標為：M 1（2，﹣3

劣弧MA 的長為：60441803

ππ？=； ②取C 點關於原點的對稱點，此點也符合M 點的要求，此時M 點的座標為：M 2（﹣2，﹣3

劣弧MA 的長為：120481803

ππ？=； ③取C 點關於y 軸的對稱點，此點也符合M 點的要求，此時M 點的座標為：M 3（﹣2，3

優弧MA 的長為：2404161803

ππ？=； ④當C 、M 重合時，C 點符合M 點的要求，此時M 4（2，3）； 優弧MA 的長為：3004201803

ππ？=； 綜上可知：當S △MAO =S △CAO 時，動點M 所經過的弧長為

481620，，，3333ππππ對應的M 點座標分別為：M 1（2，﹣3M 2（﹣2，﹣3）、M 3（﹣2，3M 4（2，3

【點睛】

本題考查了切線的判定以及弧長的計算方法，注意分類討論思想的運用，不要漏解。

2。如圖，在ABC V 中，90ACB ∠=o ，BAC ∠的平分線AD 交BC 於點D ，過點D 作DE AD ⊥交AB 於點E ，以AE 為直徑作O e 。

（）1求證：BC 是O e 的切線；

（）2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值。

【答案】（1）見解析；（2）1tan 2EDB ∠=

。【解析】

【分析】 （）1連線OD ，如圖，先證明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然後根據切線的判定定理得到結論；

（）2先利用勾股定理計算出AB 5=，設O e 的半徑為r ，則OA OD r ==，OB 5r =-，再證明BDO V ∽BCA V ，利用相似比得到r ：（）35r =-：5，解得15r 8=

，接著利用勾股定理計算5BD 2=，則3CD 2=，利用正切定理得1tan 12

∠=，然後證明1EDB ∠∠=，從而得到tan EDB ∠的值。

【詳解】

（）1證明：連線OD ，如圖，

AD Q 平分BAC ∠，

12∴∠=∠，

OA OD =Q ，

23∴∠=∠，

13∴∠=∠，

//OD AC ∴，

AC BC ⊥Q ，

OD BC ∴⊥，

BC ∴是O e 的切線；

（）2解：在Rt ACB V 中，22345AB =+=，

設O e 的半徑為r ，則OA OD r ==，5OB r =-，

//OD AC Q ，

BDO V ∴∽BCA V ，

OD ∴：AC BO =：BA ，

即r ：（）35r =-：5，解得158r =， 158OD ∴=，258

OB =， 在Rt ODB V 中，2252

BD OB OD =-=， 32

CD BC BD ∴=-=， 在Rt ACD V 中，3

12tan 132

CD AC ∠===， AE Q 為直徑，

90ADE ∴∠=o ，

90EDB ADC ∴∠+∠=o ，

190ADC ∠+∠=o Q ，

1EDB ∴∠=∠，

1tan 2

EDB ∴∠=。 【點睛】

本題考查了切線的判定與性質：經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直於經過切點的半徑。判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；也考查了圓周角定理和解直角三角形。

3。如圖，在△ABP 中，C 是BP 邊上一點，∠PAC =∠PBA ，⊙O 是△ABC 的外接圓，AD 是⊙O 的直徑，且交BP 於點E。

（1）求證：PA 是⊙O 的切線；

（2）過點C 作CF ⊥AD ，垂足為點F ，延長CF 交AB 於點G ，若AG？AB=12，求AC 的長。

【答案】（1）證明見解析（2）3【解析】

試題分析：（1）根據圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA 得出

∠CAD+∠PAC=90°進而得出答案；

（2）首先得出△CAG∽△BAC，進而得出AC2=AG·AB，求出AC即可。

試題解析：（1）連線CD，如圖，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD=90°，

∴∠CAD+∠D=90°，

∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，

∴∠CAD+∠PAC=90°，

即∠PAD=90°，

∴PA⊥AD，

∴PA是⊙O的切線；

（2）∵CF⊥AD，

∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，

∴∠ACF=∠D，

∴∠ACF=∠B，

而∠CAG=∠BAC，

∴△ACG∽△ABC，

∴AC：AB=AG：AC，

∴AC2=AG？AB=12，

∴AC=23。

4。如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD於點E，連線AC，BC，點F是BA延長線上的一點，且∠FCA=∠B。

（1）求證：CF是⊙O的切線； （2）若AE=4，tan∠ACD=1

2

，求AB和FC的長。

【答案】（1）見解析；（2） ⑵AB=20 ，

40

【解析】

分析：（1）連線OC ，根據圓周角定理證明OC ⊥CF 即可；

（2）透過正切值和圓周角定理，以及∠FCA =∠B 求出CE 、BE 的長，即可得到AB 長，然後根據直徑和半徑的關係求出OE 的長，再根據兩角對應相等的兩三角形相似（或射影定理）證明△OCE ∽△CFE ，即可根據相似三角形的對應線段成比例求解。

詳解：⑴證明：連結OC

∵AB 是⊙O 的直徑

∴∠ACB=90°

∴∠B+∠BAC=90°

∵OA=OC

∴∠BAC=∠OCA

∵∠B=∠FCA

∴∠FCA+∠OCA=90°

即∠OCF=90°

∵C 在⊙O 上

∴CF 是⊙O 的切線

⑵∵AE=4，tan ∠ACD

12

AE EC = ∴CE=8 ∵直徑AB ⊥弦CD 於點E

∴？？AD AC =

∵∠FCA =∠B

∴∠B=∠ACD=∠FCA

∴∠EOC=∠ECA

∴tan ∠B=tan ∠ACD=

1=2CE BE ∴BE=16

∴AB=20

∴OE=AB÷2-AE=6

∵CE ⊥AB

∴∠CEO=∠FCE=90°

∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE

=

即106=8

CF ∴40CF 3=

點睛：此題主要考查了圓的綜合知識，關鍵是熟知圓周角定理和切線的判定與性質，結合相似三角形的判定與性質和解直角三角形的知識求解，利用數形結合和方程思想是解題的突破點，有一定的難度，是一道綜合性的題目。

5。已知：AB 是⊙0直徑，C 是⊙0外一點，連線BC 交⊙0於點D ，BD=CD，連線AD 、AC 。

（1）如圖1，求證：∠BAD=∠CAD

（2）如圖2，過點C 作CF ⊥AB 於點F，交⊙0於點E，延長CF 交⊙0於點G。過點作EH ⊥AG 於點H ，交AB 於點K，求證AK=2OF ；

（3）如圖3，在（2）的條件下，EH 交AD 於點L，若0K=1，AC=CG，求線段AL 的長。

圖1 圖2 圖3

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）12105

【解析】

試題分析：（1）由直徑所對的圓周角等於90°，得到∠ADB =90°，再證明△ABD ≌△ACD 即可得到結論；

（2）連線BE 。由同弧所對的圓周角相等，得到∠GAB =∠BEG 。再證△KFE ≌△BFE ，得到BF =KF =BK 。由OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，即可得到結論。 （3）連線CO 並延長交AG 於點M ，連線BG 。設∠GAB =α。先證CM 垂直平分AG ，得到AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°。再證∠GAF =∠GCM =α。透過證明△AGB ≌△CMG ，得到BG =GM =12

AG 。再證明∠BGC =∠MCG =α。設BF =KF =a ， 可得GF =2a ，AF =4a 。 由OK =1，得到OF =a +1，AK =2（a +1），AF = 3a +2，得到3a +2=4a ，解出a 的值，得到AF ，AB ，GF ，FC 的值。由tanα=tan ∠HAK =

12HK AH =， AK =6，可以求出 AH 的長。再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD

∠+∠-∠？∠，得到∠GAD =45°，則AL 2AH ，即可得到結論。

試題解析：解：（1）∵AB 為⊙O 的直徑，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°。

∵BD =CD ，∠BDA =∠CDA ，AD =AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD 。

（2）連線BE 。∵BG =BG ，∴∠GAB =∠BEG 。

∵CF ⊥AB ，∴∠KFE =90°。

∵EH ⊥AG ，∴∠AHE =∠KFE =90°，∠AKH =∠EKF ，∴∠HAK =∠KEF =∠BEF 。

∵FE =FE ，∠KFE =∠BFE =90°，∴△KFE ≌△BFE ，∴BF =KF =

BK 。

∵ OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，∴AK =2OF 。

∵AC =CG ， ∴點C 在AG 的垂直平分線上。∵ OA =OG ，∴點O 在AG 的垂直平分線上， ∴CM 垂直平分AG ，∴AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°。

∵AF ⊥CG ，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF =∠GCM =α。

∵AB 為⊙O 的直徑，∴∠AGB = 90°，∴∠AGB =∠CMG =90°。

∵AB =AC =CG ，∴△AGB ≌△CMG ，∴BG =GM =12

AG 。

在Rt △AGB 中， 1tan tan 2

GB GAB AG α∠=== 。 ∵∠AMC =∠AGB = 90°，∴BG ∥CM ， ∴∠BGC =∠MCG =α。

設BF =KF =a ， 1tan tan 2BF BGF GF α∠==

=，∴GF =2a ，1tan tan 2GF GAF AF α∠=== ，AF =4a 。

∵OK =1，∴OF =a +1，AK =2OF =2（a +1），∴AF =AK +KF =a +2（a +1）=3a +2，∴3a +2=4a ，∴a =2， AK =6，∴AF =4a =8，AB =AC =CG =10，GF =2a =4，FC =CG -GF =6。 ∵tanα=tan ∠HAK =12

HK AH =，設KH =m ，則AH =2m ，∴AK 22（2）m m +=6，解得：

m=65

5

，∴AH=2m

=

5

。在Rt△BFC中，

1

3

BF

FC

∠==。∵∠BAD+∠ABD=90°，∠

FBC+∠BCF=90°，∴∠BCF=∠BAD，

1

tan tan

3

BAD BCF

∠=∠=，∴tan∠GAD=

tan tan

1tan tan

GAF BAD

GAF BAD

∠+∠

-∠？∠

=

11

11

1

23

+

=

-？

∴∠GAD=45°，∴HL=AH，AL=2AH= 1210

5

。

6。如圖，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一點，△ABC為正三角形，D為BC的中點，M 為⊙O上一點，並且∠BMC=60°。

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若E，F分別是邊AB，AC上的兩個動點，且∠EDF=120°，⊙O的半徑為2，試問

BE+CF的值是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由。

【答案】（1）證明見試題解析；（2）BE+CF的值是定值，為等邊△ABC邊長的一半。【解析】

試題分析：（1）連結OB、OD，如圖1，由於D為BC的中點，由垂徑定理的推理得

OD⊥BC，∠BOD=∠COD，即可得到∠BOD=∠M=60°，則∠OBD=30°，所以∠ABO=90°，於是得到AB是⊙O的切線；

（2）作DM⊥AB於M，DN⊥AC於N，連結AD，如圖2，由△ABC為正三角形，D為BC 的中點，得到AD平分∠BAC，∠BAC=60°，利用角平分線性質得DM=DN，得

∠MDN=120°，由∠EDF=120°，得到∠MDE=∠NDF，於是有△DME≌△DNF，得到ME=NF，

得到BE+CF=BM+CN，由BM=1

2

BD，CN=

1

2

OC，得到BE+CF=

1

2

BC，即可判斷BE+CF的值是

定值，為等邊△ABC邊長的一半。

試題解析：（1）連結OB、OD，如圖1，∵D為BC的中點，∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，

∴∠ODB=90°，∵∠BMC=1

2

∠BOC，∴∠BOD=∠M=60°，∴∠OBD=30°，∵△ABC為正三

角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABO=60°+30°=90°，∴AB⊥OB，∴AB是⊙O的切線；

（2）BE+CF的值是為定值。

作DM⊥AB於M，DN⊥AC於N，連結AD，如圖2，∵△ABC為正三角形，D為BC的中點，∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴DM=DN，∠MDN=120°，∵∠EDF=120°，

∴∠MDE=∠NDF，在△DME和△DNF中，∵∠DME=∠DNF。DM=DN，∠MDE=∠NDF，∴△DME≌△DNF，∴ME=NF，∴BE+CF=BM﹣EM+CN+NF=BM+CN，在Rt△DMB中，

∵∠DBM=60°，∴BM=1

2

BD，同理可得CN=

1

2

OC，∴BE+CF=

1

2

1

2

1

2

BC，∴BE+CF

的值是定值，為等邊△ABC邊長的一半。

考點：1。切線的判定；2。等邊三角形的性質；3。定值問題；4。探究型；5。綜合題；6。壓軸題。

7。已知：BD為⊙O的直徑，O為圓心，點A為圓上一點，過點B作⊙O的切線交DA的延長線於點F，點C為⊙O上一點，且AB=AC，連線BC交AD於點E，連線AC。

（1）如圖1，求證：∠ABF=∠ABC；

（2）如圖2，點H為⊙O內部一點，連線OH，CH若∠OHC=∠HCA=90°時，求證：CH=

1

2

（3）在（2）的條件下，若OH=6，⊙O的半徑為10，求CE的長。

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

。【解析】

【分析】 （）1由BD 為O e 的直徑，得到D ABD 90∠∠+=o ，根據切線的性質得到

FBA ABD 90∠∠+=o ，根據等腰三角形的性質得到C ABC ∠∠=，等量代換即可得到結論；

（）2如圖2，連線OC ，根據平行線的判定和性質得到ACO COH ∠∠=，根據等腰三角形的性質得到OBC OCB ∠∠=，ABC CBO ACB OCB ∠∠∠∠+=+，根據相似三角形的性質即可得到結論；

（）3根據相似三角形的性質得到AB BD 2OH OC

==，根據勾股定理得到22AD BD AB 16=-=，根據全等三角形的性質得到BF BE =，AF AE =，根據射影定理得到2

12AF 916

==，根據相交弦定理即可得到結論。 【詳解】

（）1BD Q 為O e 的直徑，

90BAD ∴∠=o ，

90D ABD ∴∠+∠=o ，

FB Q 是O e 的切線，

90FBD ∴∠=o ，

90FBA ABD ∴∠+∠=o ，

FBA D ∴∠=∠，

AB AC =Q ，

CABC ∴∠=∠，

CD ∠=∠Q ，

ABF ABC ∴∠=∠；

（）2如圖2，連線OC ，

90OHC HCA ∠=∠=o Q ， //AC OH ∴，

ACO COH ∴∠=∠，

OB OC =Q ，

OBC OCB ∴∠=∠，

ABC CBO ACB OCB ∴∠+∠=∠+∠， 即ABD ACO ∠=∠，

ABC COH ∴∠=∠，

90H BAD ∠=∠=o Q ， ABD ∴V ∽HOC V ，

2AD BD CH OC

∴==， 12

CH DA ∴=； （）3由（）2知，ABC V ∽HOC V ， 2AB BD OH OC

∴==， 6OH =Q ，O e 的半徑為10， 212AB OH ∴==，20BD =， 2216AD BD AB ∴=-=， 在ABF V 與ABE V 中，

90ABF ABE AB AB BAF BAE ∠=∠？？=？？∠=∠=？

o， ABF ∴V ≌ABE V ，

BF BE ∴=，AF AE =， 90FBD BAD ∠=∠=o Q ， 2AB AF AD ∴=？，