音樂複雜性：從音符中如何湧現出整個星辰？

原創 郭瑞東 集智俱樂部

導語

隨著複雜系統領域研究方法的成熟，包括資訊熵、混沌邊緣等概念被應用於對音樂的分析和生成。本文先介紹從複雜系統的視角分析音樂，之後是基於複雜網路的音樂型別分類，最後展示基於複雜適應系統的音樂生成工具。從這一系列研究，可以看到藝術之美的背後，有著堅實的科學理論做支撐。而跨學科的認知，可以促成對音樂進行更有深度的賞析。

研究領域：音樂複雜性，資訊熵，混沌邊緣，複雜網路，複雜適應系統

郭瑞東 | 作者

梁金 | 審校

鄧一雪 | 編輯

從三和絃中所構造出來的，不是第四個音符，而是整個星辰。

—— 布朗寧

1. 音樂作為一種湧現現象

何為音樂？從還原論的定義來看，音樂不過是一段時間上連續的聲音或寂靜組成的序列。然而傑出的音樂作品，卻有著1+1>2的效果，將交響樂拆分成不同樂器的獨奏，就失去其壯麗；將其拆分成一個個樂章，聽眾就無法從中感受到完整的故事。而這背後的科學道理，就是湧現現象，即整體呈現了部分之和所不具有的性質。

傳統音樂分析中，關注音樂的節奏，只考察節奏的快慢，然而一首樂曲中的節奏並非一成不變的。下文提到的研究透過對節奏異質性（Heterogeneity）、切分節奏（Syncopation）、模組結構（structure）的分析，介紹了一種複雜系統視角下對音樂作品的定量研究模式，並使用該方法分析了不同年代的西方古典音樂。

論文標題：Rhythm and form in music： a complex systems approach

論文地址：https：//arxiv。org/abs/2207。03602

節奏異質性

小朋友參加樂器演奏考級時，最初彈的曲子沒那麼複雜，等到了九級，曲子中節奏的變化就會增加。如何定量地描述上述區別，可以使用夏農提出的資訊熵概念。最初的資訊熵，是描述一段文字中蘊含了多少不確定性，一段只是由字母A組成的文字，其中蘊含的資訊遠比同長度的莎翁詩句要少。將樂譜看成一串符號構成的序列，也可以計算一段樂曲的資訊熵，這一數值描述了曲子節奏的多樣性程度。

切分節奏

樂曲中並非所有的音符都符合節拍，作曲家透過“由弱到強”的切分音來連線不同的旋律。該研究透過測量非節拍音符的分佈與所有音符可能落在節拍中的分佈之間的距離，來評價一首曲子的切分節奏（Syncopation）。將節奏的多樣性和切分節奏的多少彙總，可計算樂曲的複雜性。具體的計算方法如下圖所示，感興趣的讀者可參考原文。

圖1：定量衡量音樂異質性和切分節奏的示意圖

模組結構

樂曲複雜度的全域性指標與每段音樂對應指標的平均值並不相同。這進一步為節奏是一種湧現屬性的觀點提供了支援證據。想象一個帶有複雜音樂主題的樂譜，這些主題在樂曲中重複了很多次，沒有任何顯著的改變。因此，對樂曲每個主題的分析將揭示出高度的節奏複雜性。相比之下，樂曲整體的複雜性會很低，因為儘管這些主題本身就很複雜，但從整體來看卻會變得重複和可預測。

2. 音符連線網路，量化分析音樂複雜性

鋼琴演奏時，音符持續的時間有長有短，在感知層面上，聲音事件的長度在理解聲音結構方面起著決定性的作用，一個持續時間更長的音符，可以被看成是英語中的重音，標誌著一段節奏的開始或結束。而一段時間內的沉默，也會被聽者視為是一個獨立的音符。由此，將曲譜中音符的持續時間按長短繪製柱狀圖，再將長的音符和之後比它短的音符連線組成圖。上述的音符連線圖拓撲包含了該段的聚類資訊，我們可以使用圖的度數分佈來提取這些資訊。具體來說，可透過聚類演算法，將樂曲分為多個模組，如圖2所示：

圖2：對莫扎特的A大調第11號鋼琴奏鳴曲的音符進行模組分析後，繪製的音符連線圖聚類後，聚類演算法給出的四個聚類簇與樂曲初始主題的結構準確對應。

根據音符網路中度數的分佈，可以計算該網路的同配性（assortativity）與傳遞性（transitivity），具體的定義限於篇幅略去。值得注意的是，某些樂曲中持續時間短的段落和長時間段落，在度數分佈上符合冪律法則，即樂曲中持續時間較長的模組，和較短的模組在其內部音符的持續時間上，有著相似的規律。

圖3：莫扎特的A大調第11號鋼琴奏鳴曲的音符可見性圖的度相關性呈現 b=0。12 的冪律分佈。

而透過對不同年代作曲家典型樂曲的定量分析（圖4），可以發現，從巴赫到德彪西，樂曲的複雜性在上升，而樂曲不同模組之間的同配性和連線性在下降。儘管該方法只是基於少量樂曲，但上述結論是符合直覺的，我們會覺得巴赫的曲子有規律可循，之後的作曲家不斷打破規則，在豐富音樂表現力的同時，使得樂曲變得更加不可預測。

圖4 ：巴洛克、古典、浪漫主義和印象派時期代表作曲家的（a）樂曲複雜度折線圖以及（b）音符可見圖的同配性和連線性折線圖。

小結該研究，透過提出對古典音樂作品的節奏複雜性的三個量化指標（分別捕捉節奏的異質性，切分音和對整個作品的模組間相似性），指出基於複雜系統的視角得到的結論，與傳統的音樂形式分析所得結論呈現出顯著的對應關係。由於新方法找到的模式基於簡單的定量規則，而不包含先入為主的概念，這支援在音樂中，節奏應被視為湧現屬性。樂曲複雜性不等於分段樂章複雜性之和，以及音符持續時間構成的可見圖的度數分佈滿足冪律法則，這兩個發現都為研究音樂節奏提供了全新的洞見。

基於該研究指出的方法，可以對樂曲進行量化評估，這意味著以後作曲家可以知道不同年齡、不同性別，或者不同教育背景的聽眾，在人群層面上更偏好何種複雜度的樂曲。音樂研究者還可以找出對應不同情緒的樂曲在複雜度上是否存在統計差異。

談論完基於複雜網路特徵對音樂進行定量分析，再來看看利用這些特徵區分不同流派的音樂的例子。對於管理音樂推薦系統的媒體行業和音樂流媒體服務來說，這是一項基礎需求，也是研究熱點。一項基於複雜網路進行特徵提取的分類方法，在GTZAN和FMA資料集上，分類準確性都顯著高於之前的（包括基於深度學習）模型，如圖4所示。

能夠提取出可用於構建準確分類器的特徵，說明演算法把握了不同類別音樂之間的本質區別。透過在更大資料集、更多型別音樂上的模型構建，該研究從反方向進一步論證了，可將音樂（不僅是古典音樂）視為複雜系統呈現出的湧現特徵。

論文標題：Complex Network-Based Approach for Feature Extraction and Classifification of Musical Genres

論文地址：https：//arxiv。org/abs/2110。04654

圖4。 使用複雜網路提取的樂曲特徵，結合隨機森林模型，在8種音樂型別上的分類準確性熱圖。

3. 受混沌邊緣啟發的自動作曲軟體

接下來介紹自動作曲工具 NetWorks （NW），其構建基礎來自複雜科學提出的關於創造力的解釋性理論。該工具能夠產生音樂作品，在一定程度上預示了不僅人類對音樂的賞析可以用複雜科學的工具（諸如湧現）加以審視，音樂創作行為也符合複雜系統的規律。

論文標題：A Music-generating System Inspired by the Science of Complex Adaptive Systems

論文地址：https：//arxiv。org/abs/1610。02475

音樂作為一種藝術，就一定要推陳出新才能永葆生機。故而，可以將音樂的演化看成是複雜適應系統的一種特例。人類的心智活動，尤其是創造力，在這一視角下，被視為對變化環境的適應過程，以最小化環境與自身預期之間的資訊熵。人的創造力取決於 （1） 使用類似於“心理熵”（psychological entropy）的東西進行自組織，並動態保持在“混亂邊緣”（edge of chaos）的能力，以及（2）在分析和聯想處理模式之間轉換的能力，即創造力的磨削理論（honing theory）。

論文標題：Honing Theory： A Complex Systems Framework for Creativity

論文地址：https：//arxiv。org/abs/1610。02484

創造力的磨削理論指出：就像身體受傷時自我修復一樣，大腦始終從不同的角度探索現實與預期之間的差距，例如不完整、不一致或壓抑的情感，直到獲得新的理解。而面對外界的輸入資訊，發揮創意的過程可被視為遞迴地考慮這些資訊，使得它們被充分地重組，直到新資訊帶來的刺激消散。重構過程涉及到神經同步和動態結合，並且可以透過暫時轉換到一個更加聯想的思維模式對其加以促進。一部具有創造性的作品同樣可以引起其他作品的重組，從而促進個人的心智向更微妙的世界觀演變。

為達成這一目標，需要讓心智中的各個模組可透過簡單的區域性相互作用，在秩序和混沌之間的過渡中找到一個臨界狀態，這在複雜系統的研究中被稱為“混沌邊緣”，這一現象被稱為自組織臨界（self-organized criticality）。滿足自組織臨界特徵的系統，具有包括稀疏連通性、平均路徑長度短、強區域性聚類、空間和時間的長程相關性，以及對響應外部輸入進行快速重置等結構特徵。有研究表明，大腦以及活細胞都處在混沌邊緣。

描述自組織臨界的最經典模型是沙堆模型。向沙堆上增加沙子時，大多數擾動沒有什麼影響，但偶爾的擾動（超過臨界值後）有戲劇性的影響。人類的創造性活動亦是如此，大多數想法對一個人的世界觀影響不大，但偶爾一個想法會觸發另一個想法，再觸發另一個想法，造成概念變化的連鎖反應。

回到 NetWorks 這個自動作曲工具，該工具可經由與藝術家的互動，基於特定規則產出由系統生成的 MIDI 音樂。該工具包括核心域對映層。核心允許藝術家使用者定義節點連線，以及由規則決定節點何時以及如何響應他們的輸入，其中節點包含音高、持續時間、強度及負責保持模組對應節點的同步 entry delay 模組。對映層允許藝術家使用者節點輸出值對映到 MIDI 資料路由到軟體儀器在數字音訊工作站（DAW）。

圖5：NetWorks 架構具有淺層、分形、自相似的結構。該圖為不同型別的節點及其相互關係的示意圖。無向邊（黑色）表示值可以在兩個方向上交換，即兩個節點都向它們所連線的節點發送值，並從這些節點接收值。有向邊（紫色）表示 entry delay 模組的單個節點與其他模組的相應節點之間的關係。entry delay 模組節點決定它何時會啟用自身，以及在持續時間、速度和音高模組中相應的節點。

在音樂生成過程中，NetWorks 產生音樂的動力學特徵處於完全的有序（因此沒有變化的重複）與完全的混亂（因此沒有可預測性的因素）之間。當系統被調到這兩個極端之間的位置，也就是前文所述的“混沌邊緣”時，輸出樂曲的音樂性最大。在這一位置，在熟悉、重複的模式和新奇感之間會產生一種令人愉快的平衡。

透過對比資訊熵，可以評價生成樂曲的音樂性。下圖6中，1代表巴赫的合唱曲，2代表爵士樂，3是 NetWorks 產生的樂曲，4是完全隨機的樂符產生的樂曲，5是由近乎均勻的規則產生的樂曲。可以看到 NetWorks 產生的樂曲根據資訊熵這一指標衡量，和爵士及古典音樂都處在隨機混亂度的中間地帶，即音樂性較高的“混沌邊緣”。

圖6：不同型別音樂的資訊熵箱線圖

在複雜系統的動力學中，常常會出現多個吸引子共同存在的狀態，可以將其想象成登山時看到的一個個凹陷盆地。音樂生成的語境下，每個吸引子對應一個曲調的主題旋律。而發揮創造力的過程，可以看成一個“舊的想法”把系統的動力學推到不同的盆地，使得系統的穩態改變，從而表現出“自我修復”的行為。對應到音樂的語境，曲調中主題的改變，會導致樂曲呈現全新的模式。

NetWorks 節點透過整合和簡化來自多個來源的輸入，並返回一個特定的值來對其他叢集做出反應。這樣的機制可以使系統兼具自下而上和自上而下的反饋以及在互動之間存在時間延遲，這對於創造開放式進化的系統至關重要。透過模擬人類發揮創造力的機制，NetWorks 使音樂創造者能夠簡單地調整網路中的節點引數，就創造出具有音樂性的樂曲。

具體來看，從一個聽起來很混亂的任意初始配置“種子事件“，NetWorks 開始演化。樂曲的主題和/或旋律從開始時的重複展開，然後系統走向包含一個或多個吸引子（或盆地）的狀態，從而產生一個更穩定、更有組織的樂曲模式。具有不同互動規則的節點容易干擾（干擾可能是由具有不同互動規則的節點，或由進入流的延遲值引起）系統的動力學，將其推入另一個盆地（具有新的主題）。這種準週期動力學透過迴圈的音樂模式，或一個鬆散的主題和變化結構，為樂曲提供了一種組織感。而這為當前主題和處於混沌邊緣的舊主題之間產生了一種平衡。

欣賞 NetWorks 產生的音樂可以來這裡：

https：//soundcloud。com/zomes

總結來看，上述三項研究結合音樂與複雜系統，展示了科學與藝術的交叉可以創造出有趣且有用的全新洞見。使用複雜系統的工具，不僅能夠對音樂的類別進行區分，還可以量化地評價樂曲，甚至產生符合人類創造力運作方式的樂曲。

9月30日（週五）晚，集智俱樂部主辦的「複雜科學×藝術系列研討會」第三期，將從數學和複雜性兩條主線來討論音樂，同時交叉音樂神經科學與神經美學、符號學、統計物理、聲學等視角。我們特別邀請到了集智科學家、美國西北大學複雜系統研究所（NICO）博士後研究員靳擎，中央音樂學院在讀博士、鋼琴家牟吉喆老師，分別分享「秩序的湧現與東西方音樂的流變」與「音樂的結構與意義：數學及符號學視角」。

同時，我們又非常重視對當代音樂的創作實踐探索，邀請到了北京師範大學未來設計學院特聘副研究員、作曲和聲音設計師周天歌帶來「音樂創作——在混沌與分形之中」，以及聲音設計師、遊戲音樂作曲、音樂科技研究者侯晨鐘老師為我們帶來「摩爾紋、微光、音序器——從遊戲聲音設計師的視角解讀Steve Reich的音樂」的分享。

歡迎大家報名為期一年的「複雜科學×藝術系列研討會」，參與科學家和藝術家深度探討，同時本期活動也將公開直播。

複雜科學×藝術系列研討會公開報名中

20世紀下半葉以來，受到複雜性研究啟發的“思維方式”已迅速傳播到認知活動的多個領域。混沌、自組織、臨界、自創生、湧現 ……其概念層次的豐富性為我們提供了研究世界的靈活工具。從這個意義上說，我們有理由將複雜性理論視為一個擴充藝術與科學之間交叉領域的重要課題。藝術對複雜性做出反應的一種基本方式是創造出顯示“湧現行為”的系統。就本體論而言，我們不再將藝術品視為靜態之物，而是將其看作不斷髮展的創造性過程的一個例項。同時，新興的複雜科學（Complexity Science）也向當代藝術實踐者提供了一個敞開的工具箱，這些工具包括混沌、分形、元胞自動機、遺傳演算法、蟻群演算法、人工神經網路、L-System、人工生命等，它們進一步推動了數字美學、生物藝術與人工智慧藝術等領域的發展。複雜科學不僅幫助我們深入瞭解意識和生命系統的生成機制，而且有利於激發各學科的研究者和實踐者協同發掘後人類創造力和新美學的潛力，以期開啟更趨向於綜合性的創意空間。

由集智俱樂部主辦，心識宇宙研究院院長、科普作家十三維，藝術評論人汪嫣然和策展人龍星如聯合發起的“複雜科學與藝術”研討會，旨在匯聚各領域內的行動者與思想者——包括科學家、藝術家、學者及相關從業者——展開超越單一學科的跨界知識討論，探索複雜性研究與人文藝術潛在的交叉地帶。本研討會從2022年7月開始，每月舉辦一次，共計十二期。

原標題：《音樂複雜性：從音符中如何湧現出整個星辰？》