前沿進展：宏觀麥克斯韋妖背後的熱力學幾何原理

導語

熱力學強烈限制了靜態宏觀熱擴散系統中的熱流動方向，使用時空調製系統能夠克服這種限制。近日，科學家提出了時空驅動熱擴散的一般理論，揭示了宏觀驅動熱擴散中潛在的由冷到熱的幾何熱泵效應以及實現熱非互易性的限制條件，並實驗觀測到了理論所預測的幾何熱效應。該項研究展示了時空調製下熱作用的約束定理並且能夠指導驅動方式的最佳化。相關成果以“Geometric heat pump and no-go restrictions of nonreciprocity in modulated thermal diffusion”為題作為Letter發表於統計物理學重要期刊Physical Review E。

研究領域：統計物理，幾何熱泵效應，非互易性，熱擴散

陳江芷 | 作者

鄧一雪 | 編輯

論文題目：

Geometric heat pump and no-go restrictions of nonreciprocity in modulated thermal diffusion

論文連結：

https：//journals。aps。org/pre/abstract/10。1103/PhysRevE。106。L032102

1。 熱力學定律與麥克斯韋妖

熱力學第二定律指出，在無外界環境影響的情況下，熱流總是從高溫區域自主流向低溫區域，導致系統的熵增加。這一定律不難理解，比如我們將一杯熱水和一杯冷水緊貼在一起，忽略外界環境的影響，一段時間後冷水的溫度升高，熱水的溫度降低。熱力學第二定律同時也適用於其它性質的流，例如在穩態下，粒子沿著濃度下降的方向流動。

很長一段時間以來，科學家們都在試圖突破熱力學第二定律的限制，製造出所謂的“永動機”。1871年，著名的數學物理學家麥克斯韋提出了一個新奇的熱力學模型——麥克斯韋妖。簡單來說，這個模型置於一個完全封閉且絕熱的容器當中，這個容器從中間被隔熱材料分成兩半，而“妖”負責在中間位置進行管理。只要“妖”認為可以透過的粒子才能透過中間閘門進入另一半，於是冷、熱分子被完全分隔在兩邊，從而形成巨大的溫差，而人們可以利用這種溫差來做功。“妖”的存在被視為是無限渺小的，中間閘門的質量也近似為零，於是“妖”開關閘門所做的功也近似為零。

2。 時間驅動系統

儘管麥克斯韋妖的模型設想很難在實踐上進行驗證，但是對於放鬆熱力學第二定律的限制，人們並不是無計可施。科學家們發現，透過打破系統平衡和非平衡穩態（non-equilibrium steady state， NESS）條件，可以打破熱力學第二定律對熱力學偏壓下兩端流動方向的限制。這可以透過驅動與時間相關的引數來輕鬆實現。

早在古希臘時期，阿基米德發明了阿基米德泵（圖1a），當泵軸轉動時，液體一方面隨著螺桿繞軸線旋轉，另一方面又沿襯套內表面滾動。螺桿每轉一週，密封腔內的液體向前推進一個螺距，隨著螺桿的連續轉動，液體從一個密封腔被壓向另一個密封腔，最後擠出泵體。因此，阿基米德泵能夠實現將水從低處運往高處。

近些年來，隨著納米制造和精確控制手段的成熟，人們的研究逐漸集中到了非平衡的小系統中。時間驅動被廣泛應用在量子系統和熱系統中，從而產生一些新的效果，比如棘輪熱流 ［1］、非互易熱超材料［2］、非絕熱泵浦［3］等。如果不依靠時間驅動，經典的準靜態過程雖然一般可以保證能量轉換效率最高， 但它的長時間功率卻趨向無窮小，因而很難被實際利用。與靜態框架相比，受到時間驅動的系統具有更大的可調空間，它們所發揮的功能和品質引數可以透過設計特有的驅動方案得到便捷的調節。但是，時間驅動系統的研究難度也更大，特別是在對系統品質引數進行最佳化時，往往需要較大的計算量。因而關於受驅動系統的普遍性概念和一般理論就尤為重要。

圖 1 （a） 阿基米德泵（圖片源於網路），（b） 超冷費米子的拓撲Thouless泵［5］。

3。 熱力學幾何

熱力學幾何為人們設計時間驅動系統提供了嶄新的思路。幾何是物理系統的一種重要內稟性質。幾何相位（Berry相位）的深刻思想，引發了一場旨在定義規範不變幾何可觀測值並闡明其在時間驅動系統中的作用的研究熱潮，其中最重要的例子之一是Thouless泵［4，5］（圖1b）。Thouless泵可以直觀地被理解為阿基米德泵的量子版本，它在幾何表示式中描述了沿一個絕熱驅動週期積分的線性響應電子躍遷，當系統處於非平凡零溫絕緣相時，該線性響應電流是拓撲量子化的。除了研究粒子流，這一正規化也被推廣到研究週期驅動中熱流等能流的輸運情況。基於隨機熱力學的研究方法，科學家借用Thouless泵和幾何相位的思想，提出了量子分子結的聲子熱輸運中，驅動熱庫溫度等引數可產生幾何相熱流的熱泵［6］。隨後，幾何相熱流也在經典布朗系統［7］，自旋-玻色系統［8，9］，量子光力系統［10］等大量系統中得到了廣泛研究。與週期驅動系統熱輸運和熱力學幾何相關的更多內容，感興趣的讀者可以參考相關的綜述文章［11，12］。

然而之前的研究中，幾何熱泵效應的理論只被定義在量子奈米級和微觀隨機系統中，且尚未被實驗觀察到。因此，鑑於在宏觀尺度上人們對非互易時空熱裝置的廣泛興趣，自然產生了如下基本問題：幾何熱泵效應是否普遍存在於受驅動的宏觀熱擴散中？幾何熱泵和熱非互易性限制的一般理論是什麼？如何從宏觀上透過實驗觀察該熱力學幾何的效應？

4。 宏觀熱擴散中的幾何熱泵效應

為了解決上述問題，同濟大學聲子學中心的科學家任捷課題組［13］提出了時空驅動熱擴散的一般理論，揭示了驅動宏觀擴散系統中的一種新機制。透過考慮系統引數空間的內稟幾何結構，研究人員挖掘出了除了傳統的熱-到-冷動力學熱流之外，如何湧現出“反常”的從冷-到-熱的“幾何”熱流。這種框架看起來就像是宏觀的“麥克斯韋妖”。

對於經典的熱擴散，中間系統溫度的態向量為Tc，熱庫的溫度的態向量為Tb，根據傅立葉定理和連續性方程，系統溫度的態向量演化遵循：

其中

C是熱容矩陣，D是負散度矩陣，Kc和Kb分別是中間系統自身以及和兩邊熱庫耦合的熱導矩陣。對於非絕熱且週期驅動的系統來說，研究者們提出一個驅動週期τp內所積累的熱量由動力學項和幾何項兩部分組成（圖2a），並給出表示式：

這裡Tss是系統的瞬時穩態溫度，1是將熱流投影到感興趣的分量上的恆定向量。研究者們證明在有限頻率極限附近的快速驅動模式下，幾何項Qgeo消失，下圖所示動力學項保留（圖3a）。

在慢驅動模式下，中間系統溫度Tc達到瞬時穩態Tss，幾何項Qgeo與驅動週期τp無關，該幾何熱可以表達為一個純粹的幾何曲率的積分：

其中λ是組成閉合路徑Ω的驅動引數。

非對稱張量Fμν（λ）=-Fνμ（λ）顯然具有幾何曲率的含義（圖2b），該區域Ω由閉合路徑Ω包圍，dSμν是表面元素。當驅動週期足夠大時，幾何熱達到飽和值（圖3a）。如圖3b所示，幾何熱由箭頭輪廓包圍區域的非平凡幾何曲率Fμν得出。

圖 2 從連續驅動到離散驅動的擴散系統。a） 由冷到熱的幾何熱和由熱到冷的動力學熱之間的競爭產生了異常的熱輸運。b-d） 由連續到離散的不同驅動路徑。

圖 3 驅動一維擴散鏈中的幾何熱泵效應及其幾何曲率起源。

5。 泵浦“不可行”理論對熱非互易的限制

基於上述給出的幾何理論，研究者們進一步推導了幾何熱泵效應的“不可行”限制條件。結果表明，同時調製熱導和熱庫溫度，或另外調變熱容時，才能產生非平凡的幾何曲率Fμν，從而產生幾何熱。如圖4a所示，僅驅動熱導並不能產生幾何熱泵，且這種情況下熱輸運是互易的。反之如圖4b，同時驅動熱導和熱庫溫度變化能產生幾何熱泵和非互易熱輸運，說明非零幾何熱是產生熱非互易性的天然資源。注意這與熱力學第二定律並不矛盾，因為動力學部分和幾何部分產生的總熵增總是非負的。

圖 4 幾何熱泵效應的“不可行”限制條件及其對熱非互易性的影響。a） 僅驅動熱導。無幾何熱泵，無非互易熱擴散。b） 同時驅動熱導和熱庫溫度。有幾何熱泵，有非互易熱擴散。

6。 透過實驗觀測宏觀幾何熱泵效應

研究者們設計了一個離散極限條件下的實驗來觀察宏觀熱擴散系統中的幾何熱泵。如圖5所示，週期性驅動兩端熱庫的溫度變化並保證兩端熱庫溫度始終保持一致（這樣兩邊溫差為零），同時透過記憶合金驅動中間系統與兩端熱庫之間的耦合熱導週期性變化。經過一個穩定週期後，可以測量出一個週期內的累積熱量。實驗結果數值上與理論提出的熱量表達式基本吻合，且明顯表現出在慢驅動極限下，一個週期內的累積熱量為幾何熱飽和值，很好地驗證了本文第4小節中的幾何熱泵一般理論。

圖 5 熱擴散系統中幾何熱泵的實驗觀測。a） 實驗裝置示意圖。b） 熱庫溫度及熱導的驅動方式。c） 實驗裝置的紅外熱成像圖。d） 不同驅動週期下一個週期內的累積傳輸熱量。e） 快、慢驅動情況下中間系統溫度變化。f） 慢驅動演化週期內的中間系統溫度變化可分為四個階段，對應g）。

7。 總結與展望

透過建立時空驅動的宏觀熱擴散的內稟幾何理論，科學家們提出了確定幾何熱泵浦的方法，並基於此設計構造非互易性熱傳輸。透過設計動態調控系統，幾何熱可以作為生成定向熱流、利用熱能和生成熱非互易性等方面的可靠資源。最後值得強調的是，該工作提出的理論不僅適用於熱擴散，還擴充套件到其它豐富的宏觀擴散系統，例如由Fick定律描述的粒子擴散以及多物理場耦合的擴散動力學過程。這些結果為設計和實現時空調製下的非互易和拓撲擴散系統提供了新的思路和方法。

參考文獻

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［12］ Z。 Wang， L。 Wang， J。 Chen， C。 Wang， and J。 Ren， Geometric heat pump： Controlling thermal transport with time-dependent modulations， Front。 Phys。， 17， 13201 （2022）。

［13］ Z。 Wang， J。 Chen， and J。 Ren， Geometric heat pump and no-go restrictions of nonreciprocity in modulated thermal diffusion， Phys。 Rev。 E， 106， L032102 （2022）。

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