數學的哲學危機，如果存在都是“經驗”，那麼數學真理如何存在？

數學家們相信是他們提供了哲學家思想的源泉。但在18 世紀，哲學家們都在否認物質世界真理的先驅。在《人性論》一書中，休謨強調，我們既不瞭解精神，也不瞭解物質，兩者都是虛幻的。我們只接受感覺，諸如印象、記憶和思想等簡單的概念只是這些感覺的模糊反映，任何複雜概念都是簡單概念的集合。精神實際上只是我們的感覺和概念的集中，除了可以透過直接經驗所感知的事物，我們不能假定任何其他事物的存在，然而經驗只能產生感覺。

休謨對物質持同樣的懷疑態度。誰能保證有一個永遠存在的實物的世界，所有我們能夠知道的只是我們對這樣一個世界的感覺。重複地感知一張椅子並不能證明這椅子確實存在，時間和空間只是我們產生概念的方式和順序，同樣的，因果關係只不過是概念在習慣上的一種聯絡而已。無論是時間還是空間，或是因果關係，都不是客觀實在，我們被自己的感知能力所迷惑，因而相信了這樣的實在∶存在一個有確定屬性的外部世界。這實際上只是一種無根據的推論，知覺的產生是不可理解的。我們不知道，它是來自於外部事物、心靈深處還是上帝。

大衛·休謨

人本身不過是單個的感覺和思想的集大成者，他只能這樣在著。“自我”就是不同的感知力的匯聚。任何試圖瞭解自己的嘗試最終只能導向領悟。

所有其他的人和假定存在的外部世界只是某一個人的領悟，而且沒有什麼能保證他們確實存在。

於是也就不可能有任何關於一個永恆的客觀的物質世界的科學法則。這樣的法則僅僅是一種感覺的合適的總結。更進一步說，由於因果概念並不是基於科學的證明而不過是一種來自於經常發生的“事件”的通常的順序的思維習慣，所以我們無法瞭解，過去感知到的事件將來還會不會再發生。這樣休謨就否認了自然法則的必然性、永恆性以及不可破壞性。

否認了外部世界遵循固定的數學定律這一信條，休謨也就否認了代表實在的邏輯推理結構的價值。但是數學中也包含著關於數字和幾何的定理，其毫無疑問是從包含數字和幾何的假設真理中推出來的。休謨並不否認公理，但卻貶損它們以及由之推匯出的結果。公理來自於對假定存在的物理世界的感知，定理的確是公理的必然結果，卻無非是公理的精確複述。它們是推論，但只是隱含在公理中的論斷的推理。因此公理和定理，都是同義重複，並不是真理。

由是休謨回答了“人怎樣獲得真理”這一基本問題——他否認真理的存在，人不可能區別真理。休謨的工作不僅貶損了在科學和數學上付出的努力和得到的結果，還對推理本身的價值提出了質疑。對於大多數18世紀的思想家來說，這樣一種對人類最高智慧能力的否認是大逆不道的。休謨的哲學對於18世紀絕大多數的學者來說是矛盾和令人嫌惡的，而且與數學和其他科學中的驚人的成就是如此格格不入，因此遭到了駁斥。

歷史上最受尊敬的可能也是最深邃的哲學家康德發起了這一挑戰。但是對康德殫精竭慮所提出的結論進行仔細推敲後發現其並不比其他人的更令人信服。在他的《未來形而上學導言》一書中，康德看來確是站在科學家和數學家一邊∶

我們可以確切地說純粹的先驗的綜合知識，純粹數學和純粹物理學是真實存在也是先天既定的，二者都包含一些被廣泛承認、絕對肯定的命題，……而且是獨立於經驗的。

康德

在他的《純粹理性批判》一書中，康德甚至使用更為確信的詞語作為開頭，他肯定所有的數學公理和定理都是真理，但是為什麼？康德自問道。他願意接受這樣的真理嗎？顯然經驗本身並不足以證明它們的有效性。如果你能回答一個更大的問題：

數學確實是一門科學嗎

？你也就能回答這個問題了。康德的回答是∶時間和空間的形式依我們的心智所定，所謂時間和空間只是我們感知的一種模式。這種感知（康德稱之為直覺）的模式由心智對待經驗的方式決定。我們依據這些智力形式去感知，組織和理解經驗。心智將這些方式加到感覺、印象上去使感覺與內在的模式相吻合。

既然空間的直覺來源於心智，那麼心智自動地接受空間的某些屬性，諸如直線是兩點間的最短路徑，三點確定一平面以及歐幾里得的平行公理。

康德稱這些真理為一個先驗的假設的真理，它們是我們心智構成的一部分

。幾何學的科學性恰恰在於其揭示了這些真理的邏輯推斷，心智正是透過“空間結構”來對待經驗這樣一個事實

說明經驗與基本原理和定理是一致的。

我們自認為感知到的外部世界的秩序和理性是由我們的精神和我們的思考方式加諸其上的。

康德既然從人的大腦創造出了空間，那他也就看不出有什麼理由不讓它是歐氏空間。他不能構想出其他的幾何空間。這促使他相信，不存在別的空間，由此歐氏幾何定理既不是宇宙中固有的，也不是由上帝設計出來的，它是使人的感性認識條理化、理性化的作用結果。至於上帝，康德說上帝的本質不在理性知識範圍內，但我們還是應該相信上帝。

康德在幾何上的輕率超過他在哲學上的大膽。他沒有到過離東普魯士城市哥尼斯堡他的家40英里以外的地方，然而他卻假定他能決定世界的幾何形狀。

科學的數學法則又是如何呢？由於所有的經驗都是時間和空間的精神框架所構成的，數學一定吻合於所有的經驗。在《自然科學的形而上學基礎》中，康德承認牛頓定律及其推論是不證自明的。他宣稱已經證明了的牛頓運動定律可由純粹推理匯出，而且這些定律也是唯一能使自然界被理解的假設。他說，牛頓所給予我們的，對宇宙如此清晰的領悟，永遠也不會改變。

更一般地，康德認為科學的世界是一個由精神所組織和控制的，與內在的範疇，諸如空間、時間、因果以及物質等相一致的感官印象的世界。精神包含客體必定符合的結構。感官印象確乎來自於真實的世界，然而不幸的是，

這個世界是不可知的

，所謂實在只是藉助於感知，透過主觀分類所瞭解的。

因此除了歐氏幾何和牛頓力學，沒有別的辦法來使經驗條理化

。隨著經驗的增加，新的科學的形成，心智並不會從這些新的經驗中提取並形成新的原理。而是將沉睡的心智部分喚醒來解釋這些新的經驗。心智的觀察力是靠經驗來啟發的，這就解釋了為什麼有些真理譬如說力學定律發現得相當晚，而有些則在幾個世紀前就為人們所知了。

康德的哲學幾乎是毫不掩飾地推崇理性，然而

他認為理性的作用不在於對自然界的探索，而在於開發人類心智荒蕪之處

。由於來自於外部世界的感知提供了精神組織的原始材料，因此經驗就作為知識的必然因素而被認可，

而數學就是精神的必然法則的揭示者

。

數學家們是習慣於“數學是一個先驗真理的體系”這一論斷的，但大多數人並沒有對康德是如何得出這個結論給以足夠的注意。否則他的學說（數學家所證明的並非是物質世界固有的，而是來自於人類的精神），會使所有的數學家停止工作。我們實際中所固有的與所感覺的是同一結構嗎？這種空間的感知結構一定是歐氏的嗎？我們如何知道這一點呢？與康德不同的是，數學家和物理學家仍然相信存在一個受獨立於人的精神的法則支配的外部世界。人只是揭示其設計規律並用來預測在這個外部世界中將要發生的事情。

康德的學說既有解放思想的一面，也有束縛思想的一面，由於強調了精神能夠組織，我們並不真正瞭解的世界中的經驗，他為建立與當時人們堅信的概念相反的概念打下了基礎，但由於他堅持依照歐氏幾何法則來組織空間感知，他阻礙了其他觀點的接受。如果康德對同時代的數學家的工作多加關注，也許他對這一觀點不會那樣固執已見了。