微積分的本質一：如何求曲邊梯形的面積，從求圓的面積開始

美國一位著名的數學史家與教育學家MKline在《西方文化中的數學》中曾經說過：

“數學是從微積分開始，而不是以之為結束”

，可見Mkline對微積分的推崇，他又說：“

一個人擁有牛頓處於巔峰時期所掌握的知識，在今天不會被認為是一個數學家”

，可見，從牛頓——萊布尼茨時代到現在，微積分又取得巨大進步，基礎更牢固、理論更紮實，再也不是被貝克萊大主教嘲笑卻無法反擊的初期階段了。

牛頓

微積分的產生來源於對四類核心問題的求解：運動中速度與距離的互求問題、曲線求切線問題、求長度、面積、體積、重心問題、求極大值、極小值問題。

我們今天來看下求面積問題。學過高數的印象都很深刻，同濟版高數在引進定積分的時候是透過兩個引例展開的。一個是求曲邊梯形的面積，一個是求變速直線運動物體在一段時間內的運動距離，用的方法可以概括為分割求和取極限，最後發現定積分可以定義為和的極限。以極限為定義的定積分並不是萊布尼茨和牛頓發現的，他是黎曼發現的，所以這種積分又稱為黎曼積分。

黎曼

這都不是我們今天要介紹的方法，或者說只在最後給出一點說明。今天介紹的方法是B station上

3blue1brown

介紹的方法，作者希望用10期影片介紹微積分的本質，他設想你處在牛頓時代，能否自己給出曲邊梯形的面積，首先從求一個圓的面積開始。為什麼呢？因為，

希爾伯特說過：“數學之道在於找出這樣一個特例，它包含普遍數學原則的全部萌芽”

作者希望透過求圓的面積給你展示如何求曲邊梯形的面積從而說明定積分的本質，作者的影片做的很漂亮，很多人看後有豁然開朗之感。影片尤其是動畫影片給微積分的展示帶來巨大幫助，對微積分感興趣的都可以去看看。

如何求一個圓的面積呢？首先你已經知道圓的周長公式人們在很早之前就發現了，圓的周長和直徑成比例，比例係數就是π（開始是否用π以及開始不知道π的精確值都不重要）。為了求得圓的面積，首先將圓分成很多圓環，那麼圓的面積就是這些圓環面積的和（

所求量可以分為很多部分量的和

），圓環的內半徑是r，厚度是dr，將圓環剪開之後，圓環近似於一個長方形，長為2πr，寬為dr，面積近似等於

2πrdr

。

顯然，dr越小，這種近似就越精確。可以精確的什麼程度呢？來看看效果，為了求得圓的面積，將所有長方形豎起來，求和即可的圓的面積的近似值。可以發現，圓的面積近似於所有小長方形面積的和，所有小長方形面積的和近似於一個三角形的面積，小長方形的斜邊所在的直線方程為y=2πr，當圓的直徑為r時，所對應的三角形的兩條直角邊長分別為r和2πr，於是

三角形的面積=1/2*2πr*r=πr*r

。而這恰好是圓的面積公式，為什麼呢？

從上面三個圖中可以得到答案，隨著dr取得越來越小，小長方形的面積一方面越來越逼近圓的面積，一方面越來越逼近三角形的面積，

dr越小，近似效果越好，於是我們可以想到，為了得到圓的面積的精確值，我們應該讓dr趨向於0，如果極限存在，這個極限就應該定義為圓的面積。

dr趨向於0，如果極限存在，這個極限就應該定義為圓的面積。

這樣分割圓的面積還有一個奇妙之處，2πrdr是一個小長方形的面積，可以用dA來表示，即dA=2πrdr，為了求圓的面積，對dA積分即可，即A=dA在0到r上的定積分=2πr在0到r上的定積分=πr*r。