自然之美，鬼斧神功的"自然底數e"，連素數的定理也難逃魔幻

什麼是中世紀自由的藝術

公元5世紀，羅馬人盛行“自由藝術”，它包括：數學、幾何、天文學、音樂、語法、演說、辯論，在歐洲中世紀時，“自由藝術”被稱為“七藝”。精通“七藝”的人，會普遍獲得人們的尊敬，特別是“數學涵養”的高低，更是身份和地位的象徵。在古希臘，柏拉圖甚至曾在他所創辦的學園門口寫著“不懂幾何學者不得入內”的牌子。

自然的，就是美的，就是和諧的。大自然的鬼斧神工，展現出了無與倫比的“自然”之美。自然為何美得如此驚豔？在於它的 “無窮”與“極限”的“對立統一”。

人類從遠古的夜空走來，抬頭昂望星空，面對著浩瀚的宇宙充滿著瑰麗的想象和無限的好奇與困惑，這就是人類對“無窮”最為樸素的認識。

“無窮”的宇宙，到底有沒有盡頭？人類不斷地仰天叩問蒼穹。

“盡頭”，這是對“極限”最為樸素的認知。

在漫長的人類發展史中，人們對“無窮”與“極限”的認識越來越深刻，最終發現了數學中“最自然”、“最美”的一個數：“自然底數e”。

這是一個將“無窮”與“極限”融為一體的“無理數”，這個神秘的數“e”最先由約翰納皮提出，接著由約翰。伯努利首次把它當作“常數”，由萊布尼茨第一次在與友人的信件中使用，後來由尤拉正式命名為“自然底數e”。

什麼是“自然底數e”呢？在數學中是這樣描述的：對於數列{ （ 1 + 1/n ）^n }，當n趨於“正無窮時”該“數列”所取得的“極限”就是“e”，即：e = lim （1+1/n）^n。透過二項式展開，取其部分和，可得e的近似計算式e = 1 + 1 + 1/2！ + 1/3！ + 1/4！ + …… + 1/n！，n越大，越接近“e”的真值。

“自然底數e”是數學史上第一個被嚴格證明的“超越數”，它不是隨意構造的，而是“自然”存在的。有人說，這樣一個神秘的“自然底數e”或許隱藏著“大自然”的普遍規律。

在“自然底數e”被發現之前，人們在使用“對數”的很長的一段時間裡是以“10”為底的，被稱為“常用對數”。

“常用對數”雖然大大地簡化了複雜的計算，但是依然顯得十分煩瑣，直到人們將“e”做為“對數”的底時，使一些煩瑣的計算變得更加簡約。

神秘的“e”在科學研究中，它的身影隨處可見，最著名的是有著最美公式之稱的“尤拉公式”。

“尤拉公式”是數學裡最令人著迷的一個公式，它將“自然底數e”、“圓周率π”、“虛數單位i”和“自然數的單位1”和人類的重大發現“0”等這些劃時代的“偉大發現”統一在了同一個公式中，數學家們稱讚它是“上帝創造的公式”，它將“指數函式”的“定義域”擴大到“複數”，建立了“三角函式”和“指數函式”的關係，它在“複變函式論”被讚譽為“數學中的天橋”。

“尤拉公式”之所以如此美妙，在於它的“自然”。對於一個完美的圓來說，π才是“自然”的，對於最快速的指數增長來說，e才是“自然”的。

在大自然中，美麗的“對數螺線”隨處可見：鸚鵡螺的貝殼、菊的種子、鷹接近它們的獵物時的飛行路線、蜘蛛網、夜空中星系的旋臂……這些美妙的自然圖案可以用數學表示式來描述：φkρ=αe ，其中α和k為常數，φ是極角，ρ是極徑，e是自然對數的底。

在科學研究中，人們可以依據“e”來描述事物變化的週期：物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變、複利的計算……

包羅永珍的大自然，似乎總是符合“e”的表示式（1+1/x）^x 的描述：當x趨近“無窮”時，它的結果在“無限變化”中逼近一個固定值“e”。

同樣，存在於無窮自然數之中的素數，也難逃自然數“e”的神奇魔幻。

世界數學界公認的數學王子高斯，在所有他熱愛的關於數學的一切中，素數是他最鍾情的珠寶。他幼時有一本對數書，書的最後有一張素數表。奇異的是現在兩者被聯絡在了一起，因為高斯設法在兩者之間找到了聯絡。

高斯嘗試計算出有多少素數，而不僅僅是預測哪些數是素數。這就是最終解開素數的秘密的橫向思維。他問：素數在全部數字中佔多大比例？他發現數字越大，素數越少。他做了一張表，記錄著素數所佔的比例的變化。

例如，1000之內，平均每6個數中就有一個素數。

既然素數的分佈看起來如此隨機，也許擲骰子能夠提供一個很好的素數分佈模型。也許大自然用“素數骰子”來選擇 1000 左右的質數，“素數”寫在一面，另五面空白。為了決定1000是不是素數，大自然擲骰子來看它是否落在素數的一邊。當然，這只是一個啟發式模型。一個數要麼是素數，要麼不是素數，但高斯認為這個“素數骰子”也許會產生一個與真正的質素數序列具有相似性質的數字序列。

當我們檢查越來越大的數字的是否為素數時，骰子有幾個面？對於1000左右的素數，大自然似乎使用了一個六面骰子；對於10000000左右的素數，需要一個15面骰子。高斯發現，他那本含有素數表的書開頭的對數表，為確定素數骰子上有多少面提供了答案。每當高斯把第一列的數字變成原來的的十倍時，記錄骰子面數的最後一列中的數字大約會增加2。3。這樣，我們就得到了有關素數的一個規律。高斯意識到，還有一個函式也有同樣的功能，能把乘法變為加法，這就是對數函式。

我們將數字 N 輸入到對數函式中，會輸出一個數字，它就是方程的解。例如：

把輸入乘以 10，輸出就會加 1。

但是我們不必總是選擇 10 來做 x 的底數，選擇 10 只是由於我們有十個手指。不同的對數函式可以有不同的底數。每當輸入乘以 10，高斯的素數骰子函式的輸出都會增加 2。3。這個函式類似於一個對數函式，這個對數函式的底數稱為 e=2。718281828459…。

高斯猜測一個數N是素數的機率是1/log（N），其中，對數的底數取e。這是擲出一個有log（N）面的骰子，“素數”面朝上的機率。注意，當 N 變大時，log（N）也變大，在素數邊朝上的機率隨之變小。隨著數字增大，素數的分佈越來越稀疏。

如果大自然將素數骰子擲 100000 次，有著不同面數的骰子分別能得到多少素數？如果骰子有一個固定的邊數，比如 6，那麼得到的素數個數大約是 100000/6，這是 1/6 加起來 100000 次的機率。高斯將素數的這一猜測精確化為一個稱為對數積分的函式，用 Li（N） 表示。

他的猜想被稱為：高斯素數定理。

高斯發現了大自然用來選擇素數的“素數骰子”。這些骰子的邊數隨著所選擇的考數增大而增加。邊的數目像對數函式一樣增長。現在的問題是要確定這個骰子是如何落下的。正如一枚硬幣很少豎立落下一樣，高斯仍然不知道這個骰子是如何落下的。。

這個神秘的“自然底數”，似乎在向人們暗示著宇宙的形成、發展及衰亡的自然規律。

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