理解最偉大的數學猜想——黎曼猜想

昨天寫了一篇文章，

太神奇了，所有自然數之和為-1/12，我證明給你看

。很多小夥伴留言：老胡你真是胡說科學、混淆視聽、怎麼可能、邏輯錯誤……同學們都很厲害，但是大家比較謙虛，很少能說出問題的關鍵，這裡涉及到一個非常著名的數學猜想：黎曼猜想，和一個數學概念：解析延拓！廢話少說，進入正題！

可以說，如今純數學中最重要的未解決的證明就是黎曼假設了，該假設與素數的分佈密切相關。理解這個問題所需的基本技術之一稱為解析延拓，這是本文的主題。解析延拓是一種來自於數學分支複分析的技術，用於擴充套件復解析函式的定義域。

圖1：解析延拓技術在自然對數（虛部）上的應用示意圖

一些重要的數學概念

在介紹這項技術之前，我將簡要地解釋一些重要的數學概念。

泰勒級數

假設我們想求某個函式f（x）的多項式近似。多項式是由變數和係數構成的數學表示式。它們涉及基本操作（加法、減法和乘法），並且只包含變數的非負整數指數。一個n次變數x的多項式可以寫成：

方程1：一元x次n的多項式

圖2：3次和4次多項式圖

現在假設多項式有一個無窮大的次數（它是由無限項的和給出的）。這種多項式稱為泰勒級數（或泰勒展開）。泰勒級數是函式的無限項和的多項式表示。級數的每一項都是由f（x）在一個點上的導數值，關於點a處的泰勒級數的形式為：

方程2：一個關於a的函式f（x）的泰勒級數

其中上標（0）、（1）…表示f（x）的導數在x=a時的階數。人們可以使用一個多項式來近似一個函式，而該多項式對應的泰勒級數的項數是有限的。這種多項式叫做泰勒多項式。在下面的圖中，函式f（x） = sin x的幾個泰勒多項式被顯示出來。

圖3：泰勒多項式與越來越多的項顯示。黑色曲線是sin（x）其他的近似是1、3、5、7、9、11、13次泰勒多項式

f（x） = sinx的前四個泰勒多項式由：

方程3：f（x） = sinx的泰勒多項式，階數為1、3、5、7。它們在上圖中被繪製（連同高階展開）。

收斂

無窮級數收斂的概念在我們討論解析延拓時也將是至關重要的。數學序列是具有特定順序的元素（或物件）列表。它們可以表示如下：

方程4：無窮數列。

一個眾所周知的級數例子就是斐波那契數列0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，其中每個數字都是前兩個數字的和。

圖4：用邊長等於連續的斐波那契數的正方形平鋪。

人們透過對一個序列的部分元素求和來構建一個序列。部分和的級數可以表示為：

方程5：部分和的無窮序列。

這裡：

方程6：式（5）中部分和的值

下面是一個級數的例子，即我們熟悉的幾何級數。在幾何級數中，連續元素之間的公比是常數。對於比率等於1/2，我們有：

方程7：公比= 1/2的幾何級數

從圖5可以看出，上面的幾何級數收斂到最大正方形面積的兩倍。

圖5：幾何級數收斂的圖示，其公約數r=1/2，第一項A =1

如果部分和的序列式5趨近於某個有限極限，則如式6所示的級數是收斂的。否則，這個級數就是發散的。收斂級數的一個例子是式7中的幾何級數。發散級數的一個例子是：

方程8：一個發散級數的例子是所謂的調和級數。

很容易看出，調和級數與曲線y=1/x的積分相比是發散的。見圖7。由於曲線下方的面積完全包含在矩形內，且y=1/x下方的面積為：

方程9：曲線y=1/x下方的面積，如圖6所示。

矩形的總面積也必須是無窮大的。

圖6：諧波級數與y=1/x曲線下的面積比較，證明諧波級數是發散的。

幾何級數通常是給定變數x的連續冪的和（見圖5）。更具體地說，考慮如下的幾何級數，其中第一項為1，公比為x：

方程10：幾何級數的一個例子。

求出這個和的封閉形式並不難。兩邊都乘以x

方程11：方程10乘以x。

兩個方程相減。大多數項約掉了，剩下：

方程12：求幾何級數的和

如果|x|<1，取x→∞，則和式的分子第一項趨於0，得到：

式13：當|x|<1時的無窮幾何級數。

現在讓我們看看當我們令x=2時發生了什麼，它在級數式13的收斂區間之外。我們得到：

方程14：在|x|<1區域外x的方程13

我們得到一個算術上無效的和。這再次表明，將函式與無窮級數方程13聯絡起來只適用於變數x的有限範圍。

複數：解析函式、極點和收斂圓盤

到目前為止，我們的分析僅限於實數。現在我們把它推廣到複數。複平面是複數的幾何表示，如圖7所示。

圖7：複數平面，複數的幾何表示。該圖表示實軸和（垂直的）虛軸。

我們來考慮解析複函式f（z）的展開式。根據定義，解析函式是由收斂冪級數區域性給出的函式。如果f （z）是分析z₀，冪級數：

方程15：解析函式的泰勒展開f （z）轉換為z₀冪級數是一個複雜的值

在類比的情況下幾何級數，收斂僅限於一個實線區間半徑為1，本系列只集中在複平面的一個圓形區域集中在複數z₀。

圖8：從實線到複平面

f （z）的收斂區域是一個圓形區域集中在z₀擴充套件到最接近，f （z）→∞。圖9顯示了收斂區域的白色圓）（有界函式1 / （1 + z²）。

圖9：白色的圓的函式的收斂盤1 / （1 + z²）

一個複雜函式包含兩極的另一個例子是γ函式的絕對值|Γ（z） | 圖10所示。函式由：

方程16：函式

圖中顯示的兩個點|Γ（z） |由於兩極的存在變得無限。最終，當向右移動時，函式不會出現更多的極點，它只會增加。

圖10：包含極點（在其發散處）的複平面中的函式示例。

一個更強的收斂準則叫做絕對收斂。我們稱之為收斂我們已經討論過條件收斂。當下列級數收斂時，出現絕對收斂：

方程17：用於檢驗絕對收斂性的一系列值

當一個級數是絕對收斂的，它也是有條件收斂的。絕對收斂性的檢驗有幾種，其中之一是比值檢驗。考慮到系列：

方程18：一般無窮級數

現在定義以下比例：

級數式18在r<1時絕對收斂，在r>1時發散。如果r=1，則不能得出結論。

圖11：比率檢驗的決策圖

使用比值檢驗（或任何其他收斂檢驗）來顯示以下重要結果是很簡單的：

方程20：指數等於或大於k的指數的收斂性。

現在讓我們最後研究解析延拓技術，這是本文的主要主題！

解析延拓

從介紹中我們已經知道，解析延拓是一種擴充套件解析函式域的技術。我們現在可以更正式地定義它如下。假設f（z）在區域R上是解析的，現在假設R包含在S中，如果存在g（z）這樣的函式，f（z）可以解析地從R繼續到S：

g（z）是S上的解析式

對於所有z∈R，g（z）=f（z）

解析延續過程的另一個重要特性是它是惟一的。

一個示例將使這個定義更加清晰（本節主要基於這個分析）。我們從函式的展開開始

方程21：函式1/（1-z）在z=0處有一個半徑為1的收斂圓

它在z=1處有一個極點。相應的收斂圓盤如下圖所示：

圖12：在z=1處有極點的函式示例。收斂圓的半徑為1

我們可以把方程21所給的函式展開到函式及其導數表現良好的任意點上。例如，令

z

= 2。為了擴充套件圍繞它的級數，我們需要評估

z₀

= 2時

f

（

z

）的導數。

方程22：方程21的導數

將這些導數代入冪級數方程15，得到：

方程23

用z₀= 2，我們得到：

方程24：方程23中z₀= 2時函式的冪級數

圖13：收斂圓的半徑還是1。

假設我們不知道某個函式f（z）的閉式表示式，但我們只知道它在複平面上某個區域的冪級數。讓這樣的冪級數

方程25：冪級數在以原點為中心半徑為1的圓內收斂的例子

我們已經知道，這個級數只收斂於模小於1的複數。讓我們看看如何確定這個函式的值在任何z（除了極點在z=1）使用解析延拓。為此，考慮下面的圖14：

圖14

我們可以在收斂盤| z | <1內的任意點計算函式

f

（

z

）及其導數。因此，我們可以選擇某個點，例如

z₀

（如圖所示），並確定

f

（

z

+

z

）的冪級數。該冪級數將在以

z

為中心的圓盤內收斂，並延伸到

z

= 1 處的最近極點（見圖14）。因此，我們得出的結論是，我們可以在原始冪級數的收斂區域之外的複數值上評估函式。

下一步是不言而喻的。參見圖14。一旦我們評估了

f

（

z

+

z₀

）的冪級數，就可以使用相同的過程，並選擇位於新收斂區域內的另一個點z₁。然後，我們確定

f

（

z

+z₁）的冪級數展開，它將在以z₁為中心的新圓形區域內收斂（與以前一樣，該圓形區域延伸到最接近的極點

z

= 1）。

圖1

繼續這個過程，一個人可以分析地擴充套件函式透過整個複雜平面，不包括函式的極點！

解析延拓的一個應用：黎曼假設

格奧爾格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼是一位德國數學家，被許多人認為是有史以來最偉大的數學家之一。他對數學和物理學的許多分支都有貢獻（他在微分幾何方面的工作奠定了愛因斯坦廣義相對論的基礎）。解析延拓的一個應用是在他關於質數的研究中，更確切地說，是在他1859年的論文中，首次闡述了現在著名的黎曼假設。

圖16：偉大的德國數學家黎曼和他的論文手稿《論小於給定數量的質數的數量》，其中包含了他的假設

編輯搜圖

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方程26：黎曼函式

在複平面的其餘部分透過解析延拓。為了瞭解為什麼上面的級數只對Re（s）>1有效，我們取一個泛型項的絕對值

方程27：級數方程26中某一項的絕對值

如前所述，如果和（和的元素）的絕對值的和是有限的，則無窮級數是絕對收斂的。因此，為了使方程26完全收斂，我們必須有Re（s）>1。黎曼表明，透過分析延續一個可以擴充套件ζ（s）整個複平面（只有一個極s = 1）。

黎曼假設指出：

黎曼函式的每個非平凡零點的實部是1/2。

下圖說明了假設。它顯示了以下重要的解釋：

所謂的平凡零點指 -2，-4，-6，…

如果假設成立，臨界線包含所有非平凡零

圖17：除了平凡的零，黎曼澤塔函式的所有解都在臨界帶中（見圖）。根據黎曼假設，所有非平凡零都位於臨界線Re（s） = 1/2上。