植樹問題教材分析

《植樹問題》是人教版小學五年級上冊數學廣角的教學內容。

是一個經典的教學內容，具有很強的數學思維和很強的探究空間，既需要老師的引領，也需要學生的探究。教材一直將

“點數與段數”的關係作為一種模型加以呈現，無論是一線教師還是名家的教學設計不外乎兩種思路，其一是以“兩端都種”為基本模型重點開展學習，將“只種一端和兩端都不種”作為特殊情況處理；其二是三種情況同時呈現。

但無論哪種思路都要引導學生構建三種不同的數量關係模型，即

“棵數

=

間隔數

+1

，棵數

=

間隔數，棵數

=

間隔數

-1

”，並應用這些數量關係解決實際問題。事實上，間隔數、棵數、間距，這些詞語離學生的生活實際還是比較遙遠的，在解決問題時，學生最困難的還是識別植樹問題的型別，要把幾種情況與數量關係一一對應，建立關係，實屬不易。還得搞清楚：間隔數

=

總長÷間距，總長

=

間距×間隔數

解題並不是主要的教學目的。主要的任務是向學生滲透一種思想，一種在數學上、在研究問題上都很重要的思想

——化歸思想。這種思想的滲透能很好地幫助學生理解、尋求

解決複雜問題的一般方法

，

那就是

從簡單問題、簡單事例入手，尋求規律，透過規律的得出，最終得到問題的解決。

所以教學目標的設定應為：

1。

引導學生觀察、猜測、試驗、推理，體會植樹問題的模型思想。

2。

透過畫線段圖培養學生探索解決問題的能力。

3。

學生嘗試用植樹問題的方法，解決實際生活中的簡單問題。

這本是以前奧數知識，當這部分知識面對全體學生進行教學時，教師教學難度大，學生壓力大，今天這節課的設計，從學生已有的生活經驗出發，透過猜想、舉例、畫圖、驗證等方式，讓學生很好地瞭解了這部分知識，為今後的學習打下了很好的基礎。

在植樹問題等課例的磨課過程中，引發我們從一節課延伸到一類課的思考，像數學廣角中的

”

雞免同籠

”

等，都要從學生的立場出發，創造性利用教材，不要固守傳統。

一、植樹問題是什麼

所謂的植樹問題就是在一條道路上等間距的種樹，計算出樹的棵數、總距離、間距等。由於這類問題的本質是在

討論分段點的多少

，因此凡是涉及分段問題的都可以歸入植樹問題來處理。如鋸木頭、設公交車站、裝路燈、敲鐘、爬樓梯等。

二、植樹問題的基本題型

（一）基本植樹問題

基本植樹問題可以分為非閉合和閉合路線植樹問題兩類。

1

、

非閉合

線路上的植樹

⑴兩端植樹：棵數

=

總路長÷間距

+1=

間隔數

+1

⑵一端植樹，另一端不植樹：棵數

=

總距離÷間距

=

間隔數

⑶兩端都不植樹：棵數

=

總距離÷間距

-1=

間隔數

-1

2

、閉合線路上的植樹

閉合線路植樹問題多指在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因為頭尾兩端相互連線在一起，相當於一個端點種樹，棵數

=

間隔數，具體公式：棵數

=

總路長÷間距

（

二

）

複雜植樹問題（五年級下冊學習了最小公倍數和最大公因數時）

複雜植樹問題中

不同間距植樹

和

特定點植樹

尤為重要，需要學生注意。

1

、不同間距線路上的植樹

該類問題主要是在同一條線路上，種植至少兩種不同型別的等間距樹，種植樹的過程中會出現

重複植樹

的問題，因此，把握不同樹種植間距的公倍數是解題的關鍵點。

例：有一條新修的路一共

1000

米，現在需要每隔

4

米種植一棵榕樹，每隔

10

米種植一棵銀杏樹，兩端都種，問一共需要種植多少棵樹

？

解析：

首先，榕樹的分段點數量

=1000

÷

4+1=251（

棵

）

銀杏樹的分段點數量

=1000

÷

10+1=101（

棵

）

然後，得到榕樹和銀杏樹的間距的最小公倍數，

即

4

和

10

的最小公倍數是

20

，

因此重合的間距點數量一共有

1000

÷

20=50

。

最後得到結論，總共要種植數量為：

251+101-50=302（

棵

）

2

、特定點植樹

有一些植樹問題需要在特定點植樹，例如需要在

拐點植樹

，需要

滿足植樹間距相等

，至少需要種植多少棵樹，這時就必須

求出滿足這些距離的最大公因數

。因為，公因數可以滿足條件的間距，

距離越大

所

種植的樹的棵數就越少

。

例：有一個四邊形的廣場，它的四邊分別是

60

米、

80

米、

100

米、

120

米，現在需要在四邊都種植

間距相等

的樹

且四個角都需要種樹

，那麼

最少

需要種植多少棵樹

？

解析：四個角為必須種樹的特定點，因此需要求得

60

、

80

、

100

、

120

的最大公因數，

最大公因數為：

2

×

2

×

5=20

，

因此最少要種植：

（60+80+100+120）

÷

20=18（

棵

）

解題思路：

先弄清楚植樹問題的型別，然後利用公式進行計算。不過要注意的是，很多時候，種樹並不是在道路一側，而是道路兩側都栽種樹木，要看清題目，正出關鍵字眼，否則容易出錯。

舉一反三：

植樹問題不單單隻侷限於種樹，它還有很多變異情況，如爬樓梯問題、敲鐘問題、鋸木頭問題、電線杆問題、掛燈籠問題等等。雖然形式變了，但萬變不離其宗，靈活套用植樹問題的解題方法解決問題就不會出錯。

老師在教學中特別關注學生的對知識的體驗過程，注重學生的動手操作和動腦思考。