數學老師錯了？球體放在平面上，接觸面不是無窮小

前幾日有朋友問起一個問題：如果把一顆完美的圓鐵球放在一塊完美的平面上，球與平面的接觸點是多大，它會是無限小嗎？

平面上的鐵球

這是個有趣的問題。從數學上講，球體與平面相接觸它就是一個點，點是一維的，表示無窮小。但實際上這不可能，因為無窮小的接觸面積意味著壓強無窮大。所以我們還是得從物理上來分析分析。

學過平面幾何的朋友都知道，當一個圓與直線相切時，直線正好觸及圓周上的一個點。圓周上任意一個點與其左右相鄰的兩個點都不處於同一條直線上。

但是當我們學到這個知識點時，你只能在頭腦裡“意會”圓與切線的關係，在紙上無論你怎麼畫，圓與直線相接觸的都會是“一條線段”而不是一個點。

數學上的切線點需要“意會”

同樣在數學上，一個球體與平面相接觸，它們接觸的也必然只是一個點，如果你認為那是一個面，說明你的想象力不夠。

數學裡許多最基礎的東西都需要靠我們發揮想象，一維的“點”、“線”以及二維的“面”在現實世界中並不存在，至少在物理上你找不到絕對理想化的點線面，這些概念只是我們為了方便計算而創造出來。用筆在紙上戳一個點，或者畫一條線段，老師會教我們說這是“點和線”，但你如果用放大鏡觀察它，便會發現那其實是一個墨跡留下的面；而要是將其放在顯微鏡下，你便能看到被染黑的纖維叢——它們既不是點線，也不是平面，而是“體”。

顯微鏡下鉛筆在紙面畫的線

在物理上，即便是最圓、最光滑、最完美的鐵球，它依然是由一堆鐵原子聚集在一起構成的物體。常溫下，鐵原子之間透過共價鍵形成一個個體心立方晶體，進而組合成鐵。

用最先進的電子顯微鏡觀察鐵球，它的表面也不是光滑無暇，而是由鐵原子核外圍電子雲簇擁著形成的一個個“球”。

鐵球表面是緊密排列的原子

由此可見，我們認為“最完美”的鐵球，在物理上也不完美，其表面並非我們想象的那麼平滑，而是如同排列整齊的雞蛋一般。

這些由原子“蛋”排列而成的表面無論接觸到什麼樣的平面，它們的接觸面必然不是一個“點”，而至少是“三個點”，因為數學老師告訴我們只有三個點才能構成一個穩定的面。

鐵球真能以三個原子作為支撐點穩定放置在一個平面上嗎？還是不行。因為當鐵球與地面接觸時，在引力的作用下，鐵球與地面接觸的地方會發生變形。

有朋友會說，鐵很硬，我們用最硬的金剛石打造一個光滑平面，難道也會變形？當然會。

鑽石表面是由晶胞構成的平面

金剛石由碳原子組成，在金剛石晶體中，每4個碳原子構成穩定的四面體晶胞。即使將鑽石打磨得極其平整，物理結構決定了其表面也是如雞蛋般交錯排列的碳原子。

我們假設有一顆100克的鐵球，它只有三個原子與“光滑”金剛石地面接觸，計算一下接觸點的壓強。

鐵原子的共價半徑只有132pm【皮米，一萬億分之一米】，三個鐵原子所構成的平面面積大約為3。48×10^（-20）平方米，一顆100克的鐵球壓力為0。98牛頓，作用在接觸面的壓強達到2。8×10^（19）Pa，約相當於2。78百萬億個大氣壓！

在如此巨大的壓強下，鐵球表面迅速變形，金剛石與鐵球的接觸面也會發生凹陷，於是二者的接觸面積增大，直到壓強與鐵球自身的彈性模量（211GPa）平衡，這需要接觸面數以十億計的鐵原子共同支撐才行！

鐵球與地面接觸時會發生彈性變形

現在你應該明白了：許多數學上常見的概念在現實中並不存在對應的物體；最完美的鐵球也是由原子構成，它的表面不是絕對平滑；當將鐵球放置在平坦表面，接觸面的原子會因巨大的壓強而移位，鐵球變形，地面也會發生凹陷。於是球體與地面之間不再是一個點，而是一個由原子交錯咬合形成的圓形區域。